440 Kapitel 17, § 3. 



Diesem begriflflichen Beweise fügen wir noch einen analytischen hin2fu, 

 der von Satz 6 keinen Gebrauch macht: Xif geht vermöge irgend einer 

 infinitesimalen Transformation 



n 



der Gruppe Uif. . TJnf in sich über. Uf führt aber die neuen Veränder- 

 lichen : 



(13) Xk = Xk + Vk{x)St {k=l,2..n) 

 in Xif ein, und diese Gleichungen geben aufgelöst: 



Xk = Xk — Vk{x)8t (fc = 1, 2 . . «), 



und zwar ist dies — wie die folgenden Formeln überhaupt — genau in 

 den unendlich kleinen Grössen erster Ordnung in 8t. Eine beliebige Func- 

 tion f{x^ . . Xn) wird also durch Uf übergeführt in : 



(14) F(x') = f{x;. . «;„') - {Uf{x))'8t, 



entsprechend Xif{x) in: \ 



x{f{x) - iu{Xif(x)yöf. 



Der Accent bedeutet hier, dass nach Bildung des accentuierten Ausdruckes ' 

 allgemein Xk durch Xk ersetzt werden soll. Nach (13) oder auch nach i 



(14) ist noch: \ 



(15) f(x) = F{x) + {UF{x)ydt. \ 



a 



Xif erteilt einer beliebigen Function f(x) einen Zuwachs Xifdr. Die in- I 

 finitesimale Transformation, in die Xif vermöge (13) übergeht, erteilt nach | 

 dem Vorhergehenden einer beliebigen Function F(x') das Increment I 



i 



[x/f(x)- (UiXif(x))yöt]6T, I 



■.5« 



wenn darin /"(/) vermöge (15) durch F ausgedrückt wird, also das In- 

 crement : 



[XiF{x) + Xi{UF{x))dt — U{XiF(x))dt]6x, | 



wenn darin überall Xk durch x/ ersetzt wird. Dies lässt sich kürzer so ! 

 aussprechen: Die infinitesimale Transformation, in die Xif vermöge Uf 

 übergeht, hat das Symbol: 



x/f+iXiUyst. ■ 



Sie soll aber mit Z/f identisch sein. Daher ist 



« 



was wir beweisen wollten. 



