Einfach transitive Gruppen, die zu einander reciprok sind. 



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Es giebt also jedenfalls n von einander unabhängige infinitesimale 

 Transformtionen 



n 

 Uif = ^ Vik{x, . . X„) j^ 



(*=1, 2..«), 



die mit X^/". . X^/" vertauschbar sind. 



Man kann auch direct alle infinitesimalen Transformationen 



2J_ 



1 

 suchen, für die jedes 



(X, W) = Z,( Wf) — W{X,f) = 



ist. Diese Forderung giebt für die n Functionen oi, . . to,, die n^ Be- 

 dingungen: 



Sie enthalten links die w^ ersten partiellen Differentialquotienten von 

 <o^ . . (On, rechts oj^ . . co„ selbst linear und homogen. Sie bestimmen, 

 da die Determinante der linken Seiten, | |,i- |, nicht identisch Null ist, 



Pf 



alle n^ ersten partiellen Differentialquotienten -^-^ als lineare und homo- 



dXj 



gene Functionen von «^ . . aj„ mit bekannten von x^ . . Xn abhängigen 

 Coefficienten. Also sind auch alle zweiten partiellen Differential- 

 quotienten von coj , . C3„ bekannte lineare homogene Functionen von 

 (Oy . . con u. s. f. In den Reihenentwickelungen 



Alle Transf. 

 die mit d 



Transf. 

 einer geg. 



Gruppe 

 vertaiisclir 

 bar sind. 



CO, = a>,{xO) + ^ ^-^^ {xj - xj') + 



{h==l, 2 . . n) 



sind folglich alle Glieder bestimmt, sobald die n Anfangsglieder (»a:(^") 

 bestimmt sind. Daher hängen coj . . (o„ von nicht mehr als gerade n 

 willkürlichen Constanten ab. Nun aber wissen wir, dass die An- 

 nahmen : 



(16) 



03k = e^vu + ß2i^2i- -f- • • + env„k (Je = 1, 2 . . n) 



die Bedingungen erfüllen, da jedes (XiUj) ^0 ist, und dass hierin 

 die n Constanten e^ . . e„ von einander unabhängig sind, weil die 

 Uyf. . Unf eine einfach transitive Gruppe darstellen und also die De- 

 terminante I Vik I e|e ist. Die Werte (16) geben daher die allgemeinste 

 Art an, wie man die Bedingungen (X; W) ^ sämtlich erfüllen kann. 

 Ausser üyf..ünf und den aus diesen linear ableitbaren EeiUif 

 giebt es folglich keine infinitesimale Transformation, die mit allen 



