442 Kapitel 17, § 3. 



X^f. . Xnf vertauschbar wäre. Mithin ist die Grruppe U^f. . Unf durch 

 die Forderungen : 



{X,Ud~0 (i,j^l, 2..n) 



vollständig bestimmt. 

 d^BM^iohun'^ Denkt man sich andererseits nicht X^f. . Xnf, sondern Uif. . U„f 



beider .^^]^ ursprünglich gegebene einfach transitive Gruppe, so bestimmen 



Gruppen zu r o o o rr 7 



einander, ebcnso dicsc Forderungen die Gruppe X^f. . Xnf. Zwischen den beiden 

 einfach transitiven Gruppen Xj^f. . Xnf und U^f. . Unf besteht also eine 

 vollkommen umkehrbare Beziehung: 



Die eine Gruppe definiert alle Transformationen, welche jede in- 

 finitesimale Transformation der anderen Gruppe in sich überführen. 



Gleiche Weiterhin ist es nun äusserst bemerkenswert, dass beide Gruppen 



Zusammen- " ^■'■ 



^beider^ ^^^**^^ ^usammengescUt sind. Ist nämlich allgemein 



Gruppen. 



n 



{XiX,) =^^Ca-sXJ {i, h=\,2..n), 

 1 



so lassen sich Uif. . Unf aus der Schar aller ZJConst. Uf so aus- 

 wählen, dass auch jedes 



n 



{UiU,) =^Ci,, Usf {i, Je =1,2.. n) 

 1 

 ist. 



Um dies zu beweisen, denken wir uns, wie schon in früheren 

 Fällen, die Coefficienten in den infinitesimalen Transformationen in 

 der Umgebung eines Wertsystems allgemeiner Lage {Xj^ . . Xn^) nach 

 Potenzen von x^ — x^^, . . . Xn — Xn entwickelt. Als solches Wert- 

 system allgemeiner Lage können wir ohne wesentliche Beschränkung 

 der Allgemeinheit das Aufangssystem xf^ = wählen, um dadurch die 

 Formeln etwas handlicher zu gestalten. 



Wir dürfen also annehmen, es sei 



Z,/ EEE^- ^i^ 1^^ + ^-^ hnx^ ^ + • • • , 



indem wir nur die Glieder nullter und erster Ordnung wirklich hin- 

 schreiben. Da die Gruppe X^f . . Xnf einfach transitiv ist, so erteilt 

 sie einem Wertsysteme allgemeiner Lage, also auch dem Anfangs- 

 system rr, == 0, gerade n von einander unabhängige Incremente. Für 

 tTj = • • = i^n = reducieren sich aber die Xif auf 



