444 Kapitel 17, § 3. Kapitel 18, § 1. 



Wenn also die Ausdrücke (17) eine einfach transitive Gruppe dar- 

 stellen, so sind ihre Klammerausdrücke : 



n 



(20) i^X,X,)EE^^k{h,,,-h,,,)X,f (i,j=\^2..n). 



1 



Entsprechend sind bei der Gruppe Uif..Unf die Klammerausdrücke: 



n 



{U^üj) =2(Ä./ - ßi,,)mf (i, i = 1, 2 . . n). 

 Nach (19) können wir hierfür schreiben: 



n 



(21) iUiUj) =2} {hjH - ha,) m (i, i = 1, 2 . . n). 



1 



Der Vergleich von (20) mit (21) lehrt, dass die Gruppen XJ. . X„f 

 und UJ'. . U„f gleichzusammengesetzt sind. 



Wir fassen schliesslich die Ergebnisse dieses Paragraphen zu- 

 sammen in dem 

 'reoSr^oict' Theoreiü 31: Sind XJ..Xnf unabhängige infinitesimale 

 "ürupper' Transformationen einer einfach transitiven Gruppe in den n 

 Veränderlichen x^..Xn, so definieren dien Gleichungen {XiU)^0 

 die allgemeine infinitesimale Transformation Uf einer zweiten 

 einfach transitiven Gruppe UJ. . U„f, die mit ^der Gruppe 

 X^f . . Xnf gleichzusammengesetzt und ähnlich ist. Die Be- 

 ziehung zwischen diesen beiden Gruppen ist eine umhehrbare: 

 jede der beiden Gruppen besteht aus dem Inbegriff aller ein- 

 gliedrigen Gruppen, deren Transformationen mit jeder Trans- 

 formation der anderQn Gruppe vertauschbar sind. 



Wir nennen diese beiden Gruppen zu einander reciproJce einfach 

 transitive Gruppen. 

 Boispiei. Beispiel: Die einfach transitive Gruppe in x, y, z: 



g[-\- xr yq -{- zr {xy — z)p + ifq -j- yzr, 



die wir schon früher in Beispielen besprochen, ist projectiv, nämlich 

 die grösste projective Gruppe, die alle Erzeugenden der einen Schar 

 X = Const. der Fläche zweiten Grades 



z — xy == 

 einzeln in Ruhe lässt. Entsprechend ist die einfach transitive Gruppe 



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