Begriff der adjungierten Gruppe. 445 



p + y*' ^P + -^^ ^'P + (xy — z)q -\- xzr 



die zweite projective Gruppe, die alle Erzeugenden der anderen Schar 

 y == Coüst. der Fläche in Ruhe lässt. Die Transformationen der beiden 

 Gruppen sind paarweis vertauschbar, wie man durch Bildung der 

 Klammerausdrücke sieht. Auch sind beide Gruppen gleich zusammen- 

 gesetzt. Sie sind daher zu einander reciprok und es giebt Transfor- 

 mationen, welche die eine Gruppe in die andere überführen. 



Kapitel 18. 

 Die adjungierte Gruppe. 



Die Theorie der projectiven Gruppen, d, h. der Gruppen von 

 Transformationen, die lineare Gleichungen zwischen den Veränderlichen 

 stets wieder in solche überführen, besitzt eine hervorragende Wichtig- 

 keit für die ganze Gruppentheorie überhaupt. Mit 'jeder r-gliedrige^i 

 Gruppe hängt nämlich eine lineare homogene Gruppe in ganz bestimmter 

 Weise zusammen, die adjungierte Gruppe. Sie ist besonders wichtig für 

 die Bestimmung und Discussion der in einer gegebenen Gruppe ent- 

 haltenen Untergruppen. Ihrer Einführung ist das gegenwärtige Kapitel 

 gewidmet. Wenn wir später die linearen homogenen Gruppen aus- 

 führlicher besprechen, werden wir Gelegenheit haben, die Theorie der 

 adjungierten Gruppe weiter zu entwickeln. 



Man kann vielleicht sagen, dass die überraschende Einfachheit un- 

 serer Gruppentheorie in erster Linie auf der Einführung der Begriffe: 

 infinitesimale Transformation und adjungierte Gruppe beruht. 



§ 1. Begriff der adjungierten Gruppe. 



Zunächst wollen wir einige bestimmte Beispiele ins Auge fassen: 

 Betrachten wir eine infinitesimale oder endliche Translation T in Beispiele. 

 der Ebene. Sie kann in der Zeichnung durch eine Schar paralleler 

 und gleichlanger Pfeile dargestellt werden, die von den ursprünglichen 

 zu den transformierten Punkten führen. Ausserdem sei eine Rotation 

 P um einen gewissen [Punkt und mit einer gewissen Amplitude 

 ^ gegeben. Führen wir nun in bekannter Weise die Rotation P 

 auf die Translation T aus, so erhalten wir die Transformation 

 ^' = P"~^^P (nach Satz 5, § 2 des 3. Kap.), und diese ist wieder 



