Begriff der adjuu gierten Gruppe. 447 



Fassen wir hierin a, h, & als Parameter auf, so stellen diese Glei- 

 chungen die dreigliedrige Gruppe aller Bewegungen in der Ebene dar. 

 Die Translationen sind darin für den Fall enthalten, dass einer der 

 Parameter a, b unendlich gross und gleichzeitig @ unendlich klein 

 wird. Die bestimmte Bewegung B möge den Drehpunkt x = a, y = ß 

 und die Amplitude & haben. Sie führt B in eine Bewegung 

 B'=B~^BB mit der ursprünglichen Amplitude (s/ =^ ® über und 

 zwar ist ihr Drehpunkt («', &') der Punkt, in den der Drehpunkt (a, h) 

 vermöge B übergeht. Es ist also : 



Ia = {a — a) cos d- — ih — /3) sin '9- -f- a, 

 &' = (« — a) sin O- + (ö — /3) cos -^ -f- ß, 



Diese Gleichungen sind der analytische Ausdruck für die Ver- 

 tauschungen, welche die Bewegungen B{a, h, ®) vermöge einer Be- 

 wegung B(a, ß, %■) erfahren. 

 I Führen wir zwei solche Vertauschungen nach einander aus, üben 



wir also auf alle Bewegungen B zunächst eine bestimmte B und dann 

 noch eine zweite bestimmte B aus, so ist das Ergebnis dasselbe, als 

 ob wir sofort die Bewegung BB ausgeübt hätten, die der Aufeinander- 

 folge von B und B äquivalent ist. Es erhellt dies daraus, dass B ver- 

 möge B in 



:b'=b-i5b, 



diese Bewegung B' vermöge B in 



B"=B-^B'B, 

 also in 



B' = B-i(B- ^i? B) B = B-iß-^jBBB = (BB)-i5(BB) 



übergeht. Analytisch ausgedrückt heisst dies: 



Die Gleichungen (2) stellen, wenn man darin a, ß, d" als Para- 

 meter auffasst, eine Gruppe von Transformationen dar, vermöge deren 

 a, b, & in d, b', & übergehen. Dies Ergebnis ist bloss eine Folge 

 davon, dass alle Bewegungen selbst eine Gruppe bilden. 



Deshalb lässt sich das Ergebnis sofort auf beliebige Gruppen 

 verallgemeinern. Wenn auch diese Verallgemeinerung auf der Hand 

 liegt, so wollen wir sie doch zum Überfluss vollständig entwickeln. 



Es liege eine r-gliedrige Gruppe vor: 

 (3) xl =fi(x,..Xn,a,..ar) (i=l,2.. n) ^S^t" 



mit den infinitesimalen Transformationen: 



