448 Kapitel 18, § 1. 



X,/E=fai^ + .. + &„^ (*=1, 2..,-). 



Die zu den Parametern a^ . . ür gehörige Transformation der Gruppe 



heisse Ta. Führt man nun eine bestimmte derselben, etwa Ta, auf 



Ausführung j^l lg ^ j^^g SO ergeben sieh die Transformationen Ta~^TaTa, die 



jj^^'"^''^^y wieder der Gruppe (3) augehören, wie schon in Satz 6, § 4 des 6. Kap., 



die Gruppe, ggga^g^ wurde. 



Die Transformation, in die Ta vermöge Ta übergeht, habe die 

 Parameter a/. . a/, so dass 



T , T —^T T 



■^ a -La J-a-f-a 



ist. Die Parameter a^ . . a/ sind dabei Functionen von «^ . . «^ und 

 «1 . . «r : 



(4) a/= Fa:(«i . . «o «1 . . «r) (/i^ = 1, 2 . . r). 



Es ist nun ohne Mühe einzusehen, dass diese Gleichungen, wenn man 

 darin cc^ . . Ur als Parameter auffasst, eine Gruppe von Transforma- 

 tionen darstellen, die a^ . . ür in a^ . . a/ überführen. 



In der That, wenn weiterhin auf die Ta- eine Transformation Tß 

 der Gruppe (3) ausgeführt wird, so kommt: 



-La" -l-(i -La'-Lß 



und es ist analog (4): 



(5) a,"== F,{a;. . «/, ß, . . ßr) (]c=\,2..r). 

 Da aber Ta' mit Ta~^TaTa identisch ist, so ist auch 



Ta" =^-Tß-'T.-'TaT^Tß = {TaTß)-'Ta{T,Tß). 

 TaTß ist aber einer Transformation Ty der Gruppe (3) äquivalent: 



Ty == TaTßy 



sodass ^1 . . ^r gewisse Functionen von a^ . . ar, ß^ . . ßr sind : 



(6) yk = (Pk{cCi . . CCr, ßi -. ßr) (]<' = ^ , 2 . . t) . 



Es ist also auch: 



77 „ f —1 'v fr 



J. a" -*- y J-a-l-y 



und demnach analog (4) : 



(7) , ak'= Fk{a^ ■ . ar, Yi • • Vr) {Jc= \, 2 :. r). 



Eine mit 



der geg. Wir seheu somit : Die Aufeinanderfolge der beiden Transformatione! 



Gruppe /■ \ ^ . 4 



zusammen- (4) uud (5) ist äquivalent der einen Transformation (7). Alle Trans-- 



hiingendo .,.. 



Gruppe, formationen (4) bilden also eine Gruppe. 



