Begriff der adjungierten Gruppe. 449 



Ist die zu Ta inverse Transformation Ta~^ in der Gruppe der T 

 enthalten, so liefert die Ausführung dieser auf die T«: 



T T T —^ 



und diese Transformation ist invers zu TaT-^Ta-^. Daraus folgt, dass 

 auch die Gruppe (4) paarweis inverse Transformationen enthält, sobald 

 dies bei der ursprünglichen Gruppe (3) der Fall ist. 



Satz 1: Führt man auf die Transformationen Ta einer r-gliedrigen 

 Gruppe in x^ . . x» mit paarweis inversen Transformationen 



Xi'=f{xi . . x„, a, . . a^) (i = 1 , 2 . . r) 



alle Transformationen Ta eben dieser Gruppe aus, so werden die Trans- 

 formationen der Gruppe unter einander vertauscht, indem ihre Parameter 

 tti . . ar Transformationen erfahren : 

 (4) flr/= Fk(o^ ..ar, a^.. ar) (l- =1, 2 . . n). 



Biese Gleichungen stellen, wenn man darin a^ . . ar als Farameter aiif- 

 fasst, eine Gruppe in a^ . . ar mit paanveis inversen Transformationen dar. 



Wir heben hervor, dass die Gruppe (4) nicht mit einer gewissen an- Andere mit 

 deren Gruppe verwechselt werden darf: Es stellen nüralich auch die früheren'lTsJmno'r 

 Gleichungen : hängende 



^ Gruppen. 



yk = cpk'ycci ..ar, ß^. . ßr) (/c = 1, 2 . . r) 



eine Gruppe dar, wenn man darin ß^ . . ß,. als Parameter, a^ . . Ur als ur- 

 sprüngliche, /i . . yr als transformierte Veränderliche auffasst. Da wir die 

 Gruppeneigenschaft der Gleichungen y^ = (p,,{a, ß) in diesem Kapitel nicht 

 benutzen, bemerken wir hier nur, dass sie unmittelbar aus dem sogenannten 

 associativen Princip, d. h. aus der symbolischen Gleichung 



{TaTß)T, = Ta{T^T,) 



hervorgeht. Die Gnappe yk = q>k{cc, ß) sagt aus, wie sich die Aufeinander- T^irametev. 

 folge zweier Transformationen der Gruppe (3) darstellt,, und heisst ihre ^'"•'^•'■ 

 Parametergruppe. 



Die Parametergruppe wiederum darf nicht verwechselt werden mit der^'^^ppe der 

 Gruppe der Parameter einer invarianten Schar von Mannigfaltigkeiten. Eine einer schrr 

 solche trat in § 1 des 10. Kap. auf. 



Der analytische Ausdruck der Gruppe (4) ist im allgemeinen recht 

 compliciert. Denn man bedenke, dass zu seiner Bildung die Her- 

 stellung der Aufeinanderfolge T-^TaT^ dreier Transformationen der 

 Gruppe (3) erforderlich ist. Auch ist die Gruppe (4) nicht völlig be- 

 stimmt, d. h. es gehört zu einer Gruppe (3) nicht nur eine Gruppe (4). 

 Denn die Gruppe (3) ändert ja ihre analytische Form, wenn man ihre 

 Farameter a^ . . ar anders wählt, wenn man also r von einander un- 

 abhängige Functionen dieser Parameter als neue Parameter einführt. 



Lie, Coutinuierliche Gruppen. 29 



