450 Kapitel 18, § 1. 



Gleichzeitig erhält natürlich auch die Gruppe (4) im Allgemeinen 

 eine neue Form. Allerdings kann man alle verschiedenen Gruppen 

 (4) aus einer derselben erhalten, wenn man sowohl neue Veränder- 

 liche als auch cogredient neue Parameter in die Gruppe (4) einführt. 

 Alle Gruppen (4) sind also mit einander ähnlich. 



Unter allen diesen Formen, welche die Gruppe (4) erhalten kann, 

 giebt es eine ausgezeichnete. 



Auf diese ausgezeichnete Form der Gruppe (4) wird man am ein- 



Andoror fachsteu geführt, indem man eine andere Definition zu Grunde legt. 



pifiTkt " Nachher werden wir zeigen, dass diese neue Definition mit der früheren 



übereinstimmt. 



Ausführung Führen wir in gegebenen infinitesimalen Transformationen X,f..Xrf 



von Transf. id lo ^ 



einer j^Qxie Veränderliche ein , so erhalten sie neue Formen. Sind nun 



Gruppe auf ' . , . . 



iino inf. ^'^^ffx, a) die endlichen Gleichungen einer Gruppe mit den infini- 



Trausform. • /«V J y O ii 



tesimalen Transformationen XJ. . Xrf, so geht durch Einführung der 

 x(..Xn als neue Veränderliche jede eingliedrige Untergruppe EßkXkf 

 wieder in eine eingliedrige Untergruppe über, da nach Satz 6, § 4 

 des 6. Kap., jede Gruppe mit paarweis inversen Transformationen in 

 eine ebensolche übergeht. Da nun die allgemeine Form einer ein- 

 gliedrigen Untergruppe auch in den neuen Veränderlichen Z'Const.XA-Y 

 ist, wobei, der Accent bedeuten soll, dass überall x^ . . Xn direct durch 

 x^..Xn ersetzt worden sind, so folgt, dass vermöge der neuen Ver- 

 änderlichen x^. . Xn oder (3) allgemein identisch etwa 



r 



Xkf = ^^ki{a, . . ar)X{f (Jc=l, 2..r) 



sein wird, indem die Coefficienten 'O', da sie Constanten sein müssen, 

 höchstens von den Constanten a^ . . ür abhängen können. Ebenso wird 

 die allgemeinste eingliedrige Untergruppe EekXif in eine eingliedrige 

 Untergruppe UeüX^f übergehen, in der dann e/ . . e/ ausser von 

 a^..ar noch von e^. .Cr abhängen werden. Es wird also vermöge (3j 

 identisch 



r r 



(8) ^ekX,f = ^e^X^f 



sein, wenn die e/. . c/ in gewisser Weise sich durch e^, . er und «^ . . «r 

 ausdrücken : 



Ck = Hkie^ . . Sr, a^ . . ttr) (Ä;=l, 2..r). 



Über die Form dieser Functionen H^..Hr lässt sich aber noch 

 Näheres aussprechen. Setzen wir nämlich in der Gleichung (8), die I 



