Begriff der adjungieiten Gruppe. 451 



ja vermöge (3) für alle FunctioneD f von x^^ . . Xn identisch bestehen 

 muss, /' und f gleich x^, x^ . . Xn, so kommt: 



^llli -\ f- Grti = e^X^'Xi + • • + er'Xr'Xi 



Erteilen wir x^ . . Xn bestimmte Werte, so werden x^ . . Xn bestimmte 

 Functionen von a^. .ar. Erteilen wir x^^. .x„ andere bestimmte Werte, 

 so werden x^ . . Xn andere bestimmte Functionen von a^..ar. So 

 können wir eine beliebige Anzahl von linearen homogenen Gleichungen 

 zwischen e^ . . e^, e/. . e,' herstellen: 



e^lu^^ -\ h «rlr/^') = e/X/Ä;,o-) ■\ \- e,! X; xP 



(i=\,2..n, j=\,2..), 



in denen der Index j anzeigen soll, dass für x^. .Xn bestimmte Werte 

 Xi^^^ . . xj^^ gesetzt worden sind. Nun kann, wie in § 2 des 7. Kap. 

 für die Determinanten der dortigen Matrix (19), auch hier gezeigt 

 werden, dass sich aus den vorstehenden Gleichungen sicher r auswählen 

 lassen, deren Determinante links nicht Null ist, sodass sie sich nach 

 e^. . Cr auflösen lassen. Alsdann kommen Relationen von der Form : 



r 



Ci = ^ (Jikitti . . ttr) Ck (/^ = 1 , 2 . . r). 



Man bemerkt aber, dass die Beziehung zwischen e^. .Cr und e/. . e,! 

 eine umkehrbare ist, da die Gruppe (3) zu jeder ihrer Transforma- 

 tionen die inverse enthält. Man kann also die letzten Gleichuno-en 

 auch umgekehrt nach e/. . e/ auflösen, sodass sie sich in der Form 

 darstellen : 



Gleiclmngoi 



(9) ^1^ = 21 ^^•'^''i • • ""^^'^ ^^' - 1, 2 . . r). 'iJ-r' 



Traiisforin. 



unter 



einander. 



Wir sehen also, dass die obigen Functionen H^. .Er linear und homo 

 gen in e^. . Cr sind. Insbesondere ist die Determinante der q^i nicht 

 identisch Null. 



Es ist leicht einzusehen, dass die Gleichungen (9), wenn man 



darin e^. .er als ursprüngliche, e^ '. . e/ als neue Veränderliche und 

 «1 . . «r als Parameter auffasst, eine Gruppe darstellen. 



Denn die Relation Naci.weis d 



Gnippen- 

 '' '" eigenschaft 



(8) ^e,Z,/-=^e/Z;/' 



1 1 



besteht identisch vermöge 



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