Begriff der adjungierten Gruppe. 453 



Wir behaupten nun, dass die Gruppe (9) eine der früher hetrach- Rückkehr 

 teten unter einander ähnlichen Gruppen (4) ist. Bemerken wir näm-si'rüugi- Be 



'■ ^ ^ ' traclituiig. 



lieh, dass sich die endlichen Gleichungen der Gruppe X^f. . Xrf so in 

 eine zusammenfassen lassen (vgl. § 5 des 15. Kap.), wenn wir für den 

 Augenblick die transformierten Veränderlichen mit Xj^. .Xn bezeichnen: 



(12) 



f(xi . . Xn) = /{xi . . Xn) + ^ekXkf{x) + 



1 



+ ~,y:<',xJ^c,x^fix)\ + 



und führen wir auf sie eine Transformation unserer Gruppe ans, indem 

 wir also gleichzeitig setzen : 



Xi fiy^l ' • '^nj ^i • • ^^rj ) Xi Tiy^l 7 • '^'O ^1 * • ^r) 



(i=l,2..n), 



so wird die allgemeine Function f\x^^ . . Xn) in eine gewisse Function 

 F{x^ . . Xn), die übrigens auch a^. . ür enthält, entsprechend f(xj^ . . i„) 

 in die Function F(ä,\' . . Xn) übergehen. Nun wird, wie wir soeben 

 sahen, vermöge der Einführung von Xj^ . . Xn identisch 



2 Ck Xkf = ^ Ck Xkf\ 



sobald Cj'. . Cn die obigen Functionen (9) bedeuten. Es kommt also 

 auch : 



^CkxJ^e.xA ^^^e;xA^elX;t 

 u. s. w., daher: 



r 



F{x;. . x:) = F{x;. . x,:) -{-^^eXF{x) + 



1 



+ ^^^^'(^^^'X{iF(x))\ + 



Dies aber sagt aus, dass alle endlichen Transformationen der ein- 

 gliedrigen Gruppe EßkXkf vermöge einer Transformation der Gruppe 

 xl=fi(x, a) wieder in alle endlichen Transformationen einer ein- 

 gliedrigen Gruppe UckXk'f übergeben, sobald e/..e/ die Form (9) 

 haben. Die Formeln (9) lassen sich also genau so ableiten, wie früher 

 die Formeln (4), nämlich durch Ausführung von Transformationen der 

 Gruppe Xj/". . Xrf auf diese Gruppe. Damit ist unsere Behauptung 

 bewiesen. 



