454 Kapitel 18, § 1, 



Die besondere Form der endlichen Gleichungen der Gruppe 

 X^f. . Xrf, von der wir hier ausgegangen sind, nämlich die Reihen- 

 Danonischeentwickelung (12) nennen wir die canonische Form der Gruppe. In 

 Gruppo. dieser Form sind e^..er die Parameter der Gruppe. Wir nennen sie 

 entsprechend canonische Parameter. Die canonische Form hat offen- 

 bar die Eigenschaft, dass sie alle Transformationen einer einglie- 

 drigen Untergruppe Z'e.tXi-/' darstellt, sobald man e^ . . e^ so ändert, 

 dass ihre Verhältnisse dieselben bleiben, indem man also etwaei- = e/-^ 

 setzt und t variiert. 



Unser Ergebnis ist dieses: 

 Theorem 32: Sind 



r r 



x'i = Xi -{-^CkXkXi + YT2 ^•^CkCiX/.XiXi -f • • • 

 1 1 



(i = 1 , 2 . . w) 



die canonischen Gleichungen einer r-gliedrigen Gruppe XJ..Xrf 

 in n Veränderlichen x^ . . Xn-, und führt man auf diese ihre Trans- 

 formationen mit den Farametern e^ . . Cr eine heliehige ihrer 

 Transformationen in beliehiger, nicht notwendig auch canoni- 

 scher Form: 



x{= fiix^ . . x„, r/j . . a^) (/ = 1 , 2 . . n) 



aus, so gehen die Transformationen (e^ . . C;-) der Gruppe wieder 

 in Transformationen (e/. . e/) der Gruppe in canonischer Form 

 über. Die Parameter der letzteren drücken sich alsdann in'der 

 Weise aus : 



r 



ek'=^ Qkiifii . .ar)ci (k = 1, 2 . .r), 

 1 



indem die Determinante der Qki nicht identisch Null ist. Diese 

 r Gleichungen stellen eine Gruppe mit paarweis inversen Trans- 

 formationen dar, wenn man e^..er als Veränderliche und a^..ar 

 als Parameter auffasst. Insbesondere wird die infinitesimale 

 Transformation EckXkf in die infinitesimale Transformation 

 EckXkf übergeführt, ebenso die von ersterer erzeugte ein- 

 gliedrige Gruppe in die von der letzteren erzeugte. 



Diese in ganz bestimmter Weise mit der Gruppe XJ'. . Xrf zu- 

 sammenhängende lineare homogene Gruppe 



r 



(9) Gk=^Qki{aj^ . . ar)ei {k = 1, 2 . .r) 



