BegrifiF der adjungierten Gruppe. 455 



in den r Veränderlichen e^. .Cr nennen wir die der Gruppe X^f. . X/'^Grupilr 

 adjimgiertc Gruppe. Sie zeigt, wie die endlichen Transformationen, die 

 eingliedrigen Untergruppen und die infinitesimalen Transformationen 

 der gegebenen Gruppe unter einander vertauscht werden, sobald man 

 auf die gegebene Gruppe eine ihrer Transformationen ausübt. 



Wenn in die endlichen Gleichungen (3) der ursprünglichen Gruppe 

 Functionen der Parameter a^. . ar als neue Parameter eingeführt wer- 

 den, so findet dies in gleicher Weise in den Gleichungen (9) der ad- 

 jungierten Gruppe statt. 



Schliesslich erhellt aus dem Vorausgehenden, dass man die Glei- 

 chungen (9) der adjungierten Gruppe ohne Mühe aufstellen kann, 

 sobald man die endlichen Gleichungen Xi = fi{x, a) der gegebenen 

 Gruppe kennt. Wir wollen dies in den zu Beginn des Paragraphen 

 besprochenen Beispielen durchführen. 



1. -Beispiel: Wenden wir die Theorie an auf die Gruppe aller Be- Beispiele. 

 wegungen in der (a;?/)-Ebene, die man bekanntlich so schreiben kann: ^er^^^- 



■wogungeii : 



IX = X COS a 11 sin a -\- a, der Ebem 



y = X sm a -{- y cos a -\- b, 



mit den Parametern a, a, h. Die infinitesimalen Transformationen 

 sind hier p, q, xq — yp. Führen wir auf c^p + e.^q -f- e.^(xq — yq) 

 die Transformation (3') aus, so kommt: 



CiP + ^2^ + %(^2 — yp) = ^1 [cos a-p + sina- q] + 



+ e^[ — sin cc • p -{- cos a • q] -\- 



+ c.lib — y')p — (a — x')q]. 



Es ist dies gleich 



CiP + C2 q + e'3 (xq — y'p) 



zu setzen. Dies liefert sofort: 



e^'= cos a ' €1 — sin «-62 + he^, 

 6/= sin a • e, -j~ cos a ■ e^ — «63, 



ßm C?« 



(9') 



^3 ^3 



als Gleichungen der adjungierten Gruppe. Man kann ohne Mühe die 

 infinitesimalen Transformationen dieser Gruppe ableiten. Sie ist offen- 

 bar dreigliedrig. Die Annahme a = a = h = liefert die identische 

 Transformation und die Annahme a = ?^dt, a=^^dt, h = v8t die all- 

 gemeine infinitesimale, die linear aus den dreien ableitbar ist: 



