45G Kapitel 18, § 1. 



Man sieht, dass die zur Gruppe der Bewegungen adjungierte Gruppe 

 (11') wieder die Gruppe aller Bewegungen darstellt, wenn e^, e^, e^ 



als homogene Punktcoordinaten, also — und — als Cartesische Punkt- 

 es ^3 



coordinaten in der Ebene gedeutet werden. Die adjungierte Gruppe 

 ist mit anderen Worten die Gruppe der Bewegungen selbst in homo- 

 gener Schreibweise. Dies hat seinen geometrischen Grund darin, dass 

 die infinitesimale Bewegung 



ßiP -\r egg + e^(xq — yp) 



eine eingliedrige Gruppe von Rotationen erzeugt, deren Mittelpunkt 



die Coordinaten — :r, + - hat, während e^t ihre Amplitude ist. 



^3 ^3 



(Vgl. § 3 des 4. Kap.) Der Mittelpunkt (—'^, '^) wird aber durch 



(3') transformiert, wie jeder Punkt der Ebene, nämlich in Rotation, 

 indem er übergeht in 



Ca €a ^1 • I 



, == cos a sin a 4- a, 



H -. = sina-j — i cos a -f- 6, 



^3 ^3 ■ ^3 



während die Amplitude ungeändert bleibt: 



Diese drei Gleichungen decken sich aber mit den Gleichungen (9'). 



Wir können jede infinitesimale Bewegung e^p -\- e^^q -\- e^{xq — yp) 

 als Punkt in einer Ebene mit den homogenen Coordinaten e^, e^, e^ 

 abbilden. Alsdann ist, wie gesagt, die adjungierte Gruppe wieder die 

 aller Bewegungen in dieser Ebene. Da diese Gruppe transitiv ist, so 

 folgt: Durch Ausführung einer passenden Bewegung kann jede Be- 

 wegung in der Ebene in jede andere übergeführt werden, mit anderen 

 Worten: Alle eingliedrigen Gruppen von Bewegungen sind innerhalb 

 der Gruppe aller Bewegungen gleichberechtigt. 



Gruppe 2. Beispiel: Wir betrachten noch die dreigliedrige Gruppe aller 



Icr Kotat. ,-, . o o i i 



;8 Baumes liotationen des Raumes (x, y, 0) um einen festen Punkt, den Anfangs- 

 isteu Pkt. punkt : 



zq — yr xr — sp yp — xq, 



deren endliche Gleichungen lauten: 



X = a^x -{-h^y -\- c^z, 



(3") 



2/'= a.^x -\- \y + c^z, 

 / = a^x -f h^y + c^z, 



