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Begriff der adjungierten Gruppe. 457 



wenn Aj, a.^, «g u. s. w. die bekannten Relationen zwischen den Rich- 

 tungscosinus dreier zu einander senkrechter Geraden erfüllen: 



^'1=^ + < + <=!, <-^K' + c,'=l 

 XX. s. w., 



«1«2 + «2«3 + «3«1 = 0; «1^ + «2^2 + %^3 = 

 U. S. W., 



sodass nur drei von ihnen als willkürliche Parameter verbleiben. Die 

 Auflösung der Gleichungen (3") nach x, y, z liefert bekanntlich 



X = aix'-{- «2!/'+ «3^'> 



y = hix' -}- l-iV -\- &.,,/, 



Wir führen nun in 



EßkX^f^ e^izq — yr) + e,^{xr — zp) -\- e.^(yp — xq) 



die neuen Veränderlichen x, y , z vermöge (3") ein und setzen das 

 Ergebnis gleich 



Eei^Xkf^ e/(/g'— yr) + e^{x'r'— z p) + e.^{y'p'— xq). 



Es ist nach (3"): 



q=^hip + hq-j-h.y/, 

 r = c, p + c^q -\- C3 r, 

 sodass UßkXkf in x, y, z die Form annimmt: 



[(&,C3 — c.&g)^! + (6-203 — a^c^e^ + (a2&3 — \a^e^\{z q — y r) -\ . 



Die beiden nur angedeuteten Glieder gehen aus diesem einen durch 

 gleichzeitige cyklische Vertauschung von 1, 2, 3, von x, y, z und von 

 p, q, r hervor. Der Vergleich mit EekX^f giebt nun: 



Es ist aber bekanntlich für die durch (13) gebundenen Richtungs- 

 cosinus 



&2C3 — C2&3 =«1, Cgöa — «gCs = &i, «2^3 — &2«3=Cj 



u. s. w., sodass einfach folgt: 



(9") ^ 62' = «2 ^1 + ^v ^, + C2 ^3 > 



^3'= «3^1 + ^3^2 + ^3^3- 



