458 Kapitel 18, § 1. 



Die adjungierte Gruppe der Gruppe aller Rotationen um einen festen 

 Punkt ist also mit dieser Gruppe identisch, ihre infinitesimalen Trans- 

 formationen sind also auch 



df df df df df df 



Dies hat seine geometrische Erklärung: Ein Punkt, dessen Coor- 

 dinaten proportional e^, e^^ e.^ sind, wird bei der infinitesimalen Rota- 

 tion UßkXif gar nicht transformiert, wie deren Form sofort lehrt. 



Also sind 



X y z 

 e^ e.^ Cj 



die Gleichungen der Axe der infinitesimalen Rotation und ihrer ein- 

 gliedrigen Gruppe von Rotationen. Wenn wir ferner für den Augen- 

 blick 8t als Zeitelement betrachten, so können wir sagen : Die infini- 

 tesimalen Rotation 2JekXi,f, die in der Zeit dt stattfindet, setzt sich 

 aus drei Rotationen um die Coordinatenaxen zusammen. Bei der ersten 

 e^X^f ist der Rotationswinkel gleich e^^dt, also die Winkelgeschwindig- 

 keit ßj, bei der zweiten ist diese e^, bei der dritten e^. Da sich 

 die wirkliche Winkelgeschwindigkeit nach dem Parallelogramm zer- 

 legen lässt, so folgt, dass diese Grösse gleich j/ci^ -j- e.^^ -j- e.^^ ist. 

 Bei der infinitesimalen Rotation EßkXkf findet also eine Drehung um 



die Axe 



X y z 



6| 6a Co 



mit dem Winkel V e^^ -\- e^^ -\- e^^ 8 1 statt. Führt man nun auf die 

 Rotationen der eingliedrigen Gruppe ZeuXkf die endliche Rotation 

 (3") aus, so entsteht eine neue eingliedrige Gruppe von Rotationen 

 He^X^f, deren Axe die Gerade ist, in welche die ursprüngliche Axe 

 vermöge (3") übergeht. Dies ist in der That der Fall, wie die Glei- 

 chungen (9") aussagen. Ferner hat He^X^f denselben Rotations- 

 winkel wie SckXkf, wie geometrisch einleuchtet. Hieraus aber folgt, 

 Lbbiidun« dass ye^-\^~e^^ + e«^ 8t == j/e/^ _|_ ^^'2 ^^p §t ggin muss. Deuten 



Her Ilotat. !• 1 • ■ D 



im einen wir also 6,, c, , 6, als gewöhnliche Punktcoordmaten in einem Kaume 



'unkt als i; JJ d O _ .. j T • i. 



mkto einesvon drei Dimensionen, so sehen wir, dass vermöge der adjungierten 



Baumes. 



Gruppe jeder Abstand ^e^^ -f e^^ + e^^ eines Punktes {e^, e^, e^) dieses 

 Raumes vom Anfangspunkt invariant bleibt. Dies ist aber bei der 

 Gruppe der Bewegungen (9") der Fall, die offenbar nur die eine In- 

 variante Cj^ -\- e^ + ^z besitzt, da die Gleichungen 



^f ^f c^ ^f df f. df df _(. 



