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Begriff der adjungieiien Gruppe. 459 



ein zweigliedriges vollständiges System in den drei Veränderlichen 

 e, , e^, e^ bilden. Bei der soeben benutzten Deutung wird jede Rota- 

 tion (3") durch einen bestimmten Punkt (e^, e.^, e^) eines Raumes dar- 

 gestellt und die Rotationen der eingliedrigen Gruppe UCk^Xkf durch 

 die Punkte 



einer Geraden durch den Anfangspunkt. Die adjungierte Gruppe (9"), 

 die ja angiebt, wie die Rotationen (3") vermöge solcher Rotationen 

 unter einander vertauscht werden, stellt dann eine Gruppe von Trans- 

 formationen dieses neuen Raumes dar und zwar in diesem Beispiele 

 wieder die Gruppe der Rotationen um den Anfangspunkt. 



Wir können aber auch von einer anderen geometrischen Deutung 

 Gebrauch machen: Wir stellen jede infinitesimale Rotation UekX/^f durch Abwi 

 einen Punkt in einer Ebene mit den Jiomogenen Coordinaten c^, Cc,, c.^ um einci 

 dar. Alsdann werden die Ptmkte dieser Ebene durch die adjungierte ruukt'o 

 Gnqjpc (9) projectiv transformiert, und dabei bleibt ein Kegelschnitt 

 invariant; man erkennt dies ohne weiteres, wenn man die Grössen 



l = j- und 9 = — als Cartesische Coordinaten einführt. Man sieht 



dies auch rein geometrisch sofort ein, wenn man als die Ebene 

 (^o ^2> ^3) ^^iß unendlich ferne Ebene des Punktraumes {x, y, z) be- 

 nutzt, jede infinitesimale Rotation mithin durch den unendlich fernen 

 Punkt ihrer Axe darstellt. Führt man eine Rotation (3") auf alle 

 Rotationen aus, deren Axen in einer Ebene (natürlich durch den An- 

 fangspunkt) liegen, die also in der unendlich fernen Ebene durch eine 

 Gerade dargestellt werden, so gehen sie wieder in Rotationen über, 

 deren Bildpunkte in einer Geraden liegen, da die Rotation (3") jede 

 Ebene in eine Ebene überführt. Hieraus erhellt auch sofort, dass die 

 adjungierte Gruppe in der Ebene mit den homogenen Coordinaten 

 Ci, (?2) ^3 dreigliedrig und transitiv ist und einen Kegelschnitt invariant 

 lässt. Denn die Rotationen (3") transformieren die Geraden durch den 

 festen Anfangspunkt dreigliedrig und lassen die imaginäre Nullkugel 

 x^ -{- lf -\- z^ = invariant. Dementsprechend ist die adjungierte 

 Gruppe in der Ebene (e^, e^, 63) die allgemeine projective Gruppe des 

 imaginären Kugelkreises 



e,2-l-e./ + r3^ = 0, 



die, wie bekannt (vgl. z. B. Anfang des § 3 des 11. Kap.), gerade 

 dreigliedrig und transitiv ist. Dass die adjungierte Gruppe transitiv 



