460 Kapitel 18, §§ 1, 2. 



ist, sagt aus: Man kann durch Ausübung einer Rotation unserer 

 Gruppe aller Rotationen um einen festen Punkt jede dieser Rotationen 

 in jede überführen, oder auch: Innerhalb dieser Gruppe sind alle ein- 

 gliedrigen Untergruppen allgemeiner Lage EekXj^f gleichberechtigt. 



rincip der -^Yjj. liaben in diesen Beispielen von geometrischen Deutungen der 



Abbildung r o o 



lor Trauaf.'j^j.angformationen einer vorgelegten Gruppe als Punkte eines neuen 

 ruppe als ßaumes Gcbrauch gemacht. Diese Deutungen wurden schon früher 



Punkte. " '-' 



einige Male gelegentlich benutzt, so bei der Bestimmung gewisser 

 Gruppen in der Ebene in § 2 des 13. Kap. unter III und bei der be- 

 grifflichen Auseinandersetzung des Beweises des ersten Fundamental- 

 satzes in § 2 des 15. Kap. Wir wollen hier auch für den allgemeinen 

 Fall einer beliebigen Gruppe diese Deutungen durchführen. 

 bbUdun ^^^ wissen, dass jede Transformation der Gruppe X^f. . Xrf in 



der Form dargestellt werden kann: 



r r 



r = f + ^e,X,f+ j'r^^^^e.e^X.iX.n + •'-, 

 1 1 



sodass ßj . . e^ ihre canonischen Parameter sind. Verstehen wir unter 

 e^. . er getvöJmliche Punktcoordinaten in einem Räume von r Dimen- 

 sionen, so wird jeder Transformation unserer Gruppe ein bestimmter 

 Punkt dieses Raumes zugeordnet und umgekehrt. Die Transforma- 

 tionen einer eingliedrigen Untergruppe Eek^Xkf erhält man, wenn man 



setzt und t variieren lässt. Sie werden also in dem neuen Räume 

 dargestellt durch die Punkte {e^ . . Cr) einer Geraden durch den An- 



fangspunkt : 





Vermöge einer beliebigen Transformation der Gruppe werden ihre 

 Transformationen, also auch die Bildpunkte (e^ . . ßr) dieser Transfor- 

 mationen, unter einander vertauscht. Wie dies geschieht, das sagt die 

 adjungierte Gruppe aus. Die adjungierte Gruppe (9) erscheint daher 

 in unserem Bildraume als eine gewisse Gruppe von Punkttransforma- 

 tionen. Sie ist linear und homogen in e-^. . Cr. Dies sagt aus, dass 

 erstens bei ihr jede Gleichung ersten Grades, d. h. jede ebene Mannig- 

 faltigkeit des Bildraumes 



^1^1 + • • • + CrBr + ^0 = 



wieder in eine ebene Mannigfaltigkeit übergeht, zweitens, dass der An- 

 fangspunkt des neuen Raumes in Ruhe bleibt, und drittens, dass parallele 



