Die infinitesimalen Transformationen der adjungierten Gruppe. 461 



Richtungen in parallele Richtungen übergehen. Dies ist leicht zu be- 

 weisen, wir werden übrigens hierauf später zurückkommen, wenn wir 

 allgemein von linearen homogenen Gruppen sprechen. Dass jede ein- 

 gliedrige Untergruppe der gegebenen Gruppe vermöge einer Transfor- 

 mation der Gruppe wieder in eine solche übergeht, drückt sich nun 

 auch so aus: Jede Gerade durch den Anfangspunkt im neuen Räume 

 (Cj . . Cr) geht vermöge der adjungierten Gruppe (9) wieder in eine 

 Gerade durch den Anfangspunkt über. 



Die zweite geometrische Deutung, von der wir in diesem Kapitel ^^^Yuiung 

 nachher noch ausführlicher zu sprechen haben, besteht darin, dass 

 man e^ . . e^ als homogene Punktcoordinaten in einem Räume von r — 1 

 Dimensionen, also, wie man zu sagen pflegt, in einem Räume r**" Stufe 

 deutet. Dabei werden alle Transformationen einer eingliedrigen Unter- 

 gruppe, da für sie e^. . Cr in constanten Verhältnissen stehen, durch 

 ein und denselben Punkt dargestellt. Jeder Punkt (e^ . . er) des netten 

 Raumes repräsentiert in .Folge dessen eine einzige infinitesimale Trans- 

 formation, nämlich: 2Je/,Xkf. Dass diese Abbildung eine hervorragende 

 Wichtigkeit besitzt, werden wir im Folgenden an vielen Beispielen er- 

 läutern. 



§ 2. Die infinitesimalen Transformationen der adjungierten Gruppe. 



Bisher haben wir die adjungierte Gruppe bei der Annahme be- 

 rechnet, dass die endlichen Gleichungen der Gruppe X^f. . Xrf ge- 

 geben seien. Es ist aber möglich, die infinitesimalen Transforma- 

 tionen der adjungierten Gruppe durch einfache Rechnungen zu finden, 

 sobald nur die Zusammensetzungscoefficienten Cna bekannt sind. 



Dabei wollen wir von jetzt ab ein für allemal annehmen, dass 

 die allgemeine Transformation Xi=fi{x, a) der gegebenen Gruppe, 

 durch deren Ausübung auf die in canonischer Form vorliegenden 

 Transformationen die adjungierte Gruppe hervorging, ebenfalls in 

 canonischer Form, etwa zur Unterscheidung mit den Parametern E^..Sr, 

 gewählt sei. 



Wir wissen, dass sich die Werte von ß/. . e/, ausgedrückt in 

 e^.-er und r Parametern, aus der Forderung ergeben, dass vermöge 

 einer allgemeinen Transformation der vorgelegten Gruppe identisch Bedingung 



zugehen ist 

 r r 



(14j ^e,:XU =^e,X,f 



