Die infinitesimalen Transformationen der adjungierten Gruppe. 463 



Transformation der Gruppe jede canonisehe Darstellung der Gruppe 

 wieder in eine solche übergeht. Nach dem Hauptsatze wird sein: 



r 



(17j (X^Z,) =^ c,..,X,f (^,v=l,2.. r), 



1 



sodass auch {X^Y') sowie die höheren Glieder in (16) sich als Aus- 

 drücke von der Form Z'Const. Z'/" darstellen. In (16) wird also jetzt 

 jedes Glied rechts und links diese Form haben, sodass sich (16) so 

 schreiben lässt: 



r r 



1 1 



indem die nur angedeuteten Glieder Potenzreihen nach £ mit constanten 

 Coefficienten sein werden. Da aber X//". , X//' von einander unab- 

 hängig sind, so zerfällt diese Relation in r einzelne: 



(16) e;=e, H (7^=1, 2.. r), 



deren rechte Seiten Potenzreihen nach s sind, deren Coefficienten von 

 den Constanten e^^. . er allein abhängen. 



Wir wählen nun Yf als die allgemeine infinitesimale Transforma- 

 tion ZskXjcf der Gruppe Xj^f. . Xrf. Alsdann werden die Gleichungen Roihon- 



entwickelg. 



(16) offenbar alle Transformationen der adjungierten Gruppe darstellen ^^^^^"-^^j;^ 

 in Form von Reihenentwickelungen nach Potenzen von fj . . Sr. Da wir 

 die infinitesimalen Transformationen der adjungierten Gruppe suchen, 

 so genügt es — wie wir nachher streng beweisen — in unseren 

 Reihenentwickelungen nur die Glieder erster Ordnung in tj . . a,. zu be- 

 rechnen. Wir werden nämlich zeigen, dass, wenn etwa die Glieder 

 erster Ordnung sämtlich Null sind, dasselbe dann auch von allen Glie- 

 dern höherer Ordnung gilt. 



Zunächst liefern uns nun die Gleichungen (16) für Yf^Us^X/cf: 



r r r 



(18) 2 ^*'^*r =2 f.x;/- + ^'^ e.e,(x;x:) -f . . . 



11 1 



oder nach (17): 



r r 1 ..r 



2 e^X^f = 2 e, X,r +^ fvc^v. e, X/f + • • • , 



1 1 fi, V, k 



woraus nach den obigen Auseinandersetzungen einzeln folgt: 



r 



(18) e,'= e, + 2.5^ '^^f^^'^^ + ■ ■ ■ (^ = 1, 2 . . r). 



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