Die infinitesimalen Transformationen der adjungierten Gruppe. 465 



der eingliedrigen Gruppe Ec^X^f mit allen endlichen Transforma- 

 tionen S der Gruppe Xj/". . Z^/" vertauschbar sind: TS = ST. Eine 

 beliebige Transformation T der eingliedrigen Gruppe UCyXyf führt 

 also jede • Transformation S der Gruppe X^f.-Xrf in sich über, da 

 dann T-^ST = T-^TS = S ist. Mit anderen Worten: Wenn wir 

 als Yf eine infinitesimale Transformation UCyXyf der Gruppe wählen, 

 die mit allen infinitesimalen Transformationen der Gruppe vertausch- 

 bar ist, so lässt jede endliche Transformation (15) der eingliedrigen 

 Gruppe Yf alle Transformationen in Ruhe, indem die zu e^. . er ge- 

 hörige in sich übergeht, d. h. dann reducieren sich die Reihenent- 

 wickelungen (18) exact auf Ck = Ck. 



Damit ist bewiesen, dass in den Reihenentwickelungeu der ad- 

 jungierten Gruppe alle Glieder verschwinden, sobald die von erster 

 Ordnung Null sind, dass also keine infinitesimalen Transformationen 

 in der adjungierten Gruppe vorhanden sind, die etwa mit höheren 

 Potenzen von s^. . Sr beginnen. Wir sind also sicher, dass jede in- 

 finitesimale Transformation der adjungierten Gruppe die Form hat: 



ECyEyf. 



Gleichzeitig haben wir gesehen, dass, sobald zwischen E^f. . Erf 

 eine lineare Relation mit constanten Coefficienten identisch besteht: 



c,EJ-\ \-CrErf=0, 



alsdann in der Gruppe X^f . . Xrf eine mit allen infinitesimalen Trans- 

 formationen der Gruppe vertauschbare infinitesimale Transformation 

 HCvXvf vorhanden ist. Der Schluss von (20) auf (21) lässt sich 

 offenbar auch rückwärts anwenden. Um dies Ergebnis bequemer aus- 

 sprechen zu können, führen wir eine neue Bezeichnung ein: 



Wir nennen eine infinitesimale Transformation EcyX^f einer GrupppA'^^s°^^^'^^- 

 X,f.. Xrf eine ausgezeichnete infinitesimale Transformation der Gruppe, einer 



, . . -'^ ' Gruppe. 



sobald sie mit allen infinitesimalen Transformationen der Gruppe ver- 

 tauschhar, also jeder Klammerausdruck 



\^CyX4,X,f\=0 (f* = l,2..0 



ist*). 



*) Nach Lie's Terminologie ist eine ausgezeichnete infinitesimale Transforma- 

 tion einer Gruppe immer invariant, während eine invariante infinitesimale Trans- 

 formation nicht immer ausgezeichnet, oder wenn man will, ausgezeichnet invariant 

 ist. Wie es scheint, haben Klein und seine Schüler den Unterschied zwi=:clien 

 diesen beiden Begriffen nicht hinlänglich beachtet. (Vgl. S. 486 unten.) 



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