466 Kapitel 18, § 2. 



Dann können wir sagen: Wenn zwischen JE^f . . Erf gerade q von 

 einander unabhängige lineare Relationen mit constanten Coefficienten 

 bestehen, wenn also unter E^f..Erf gerade r — q von einander un- 

 abhängige infinitesimale Transformationen vorhanden sind, "d. h. die 

 adjungierte Gruppe gerade {r — 2)-gliedrig ist, so existieren in der 

 Gruppe X^f. . Xrf gerade q von einander unabhängige ausgezeichnete 

 infinitesimale Transformationen. 



Üs^rüc^ke Bilden wir die Klammerausdrücke der infinitesimalen Transfor- 



■^ruppe''.^' Nationen der adjungierten Gruppe. Es kommt 



l..r 



(EyE„) ^ ^ (Cf,vk Cknq — C^nk Ckv^ 6^ ö^ • 

 k,i.i,Q Q 



Aber zwischen den Coefficienten c^^i der Klammerausdrücke (16) be- 

 stehen nach dem dritten Fundamentalsatz die Relationen: 



r 



^f (pf^vkCkrtQ + CynkCkfiQ + CjtfikCkto) == 

 1 



und 



C/u7tk ^^^^^ Citiukf f^kuQ *^^^ ^f'^'Q} 



sodass kommt: 



l..r 



^ — ^ P} -f 



k, n, {, ^ 



oder nach (19): 



r 

 (ß,E„)='^CrnkE,f. 

 1 



Es ist daher, wie wir uns ausdrücken (vgl. S. 429), die adjungierte 

 Gruppe Elf. .Erf mit der ursprünglichen Gruppe X^/. . Xrf isomorph. 



Wir fassen die Ergebnisse zusammen in dem 

 rgSs Theorem 33: Erzeugen Xi f. .Xrf eine r-gliedrige Gruppe 



in Xi. . Xn und ist 



r 



(XiXk) ^^CiuXsf («, h=\, 2 ..r), 

 1 



so wird die adjungierte Gruppe von den infinitesimalen Trans- 

 formationen erzeugt: 



r 



E.f^'^^^c^rke^ ^ (v = 1, 2 . . r) 

 und es ist 



