Die infinitesimalen Transformationen der adjungierten Gruppe. 467 



r 



(EiE,) =^^ci,,E,f {i, Je ^1,2.. r). 



Unter diesen infinitesimalen Transformationen der adjungier- 

 ten Gruppe sind gerade r — q von einander unabhängige ent- 

 halten, sobald die Gruppe X^f. . Xrf gerade q von einander 

 unabhängige ausgezeichnete infinitesimale Transformationen 

 besitzt. 



Man sieht, dass 



r 



df 



ist. Vergleicht man dies mit 



r 



{XiXic) ^ ^1 CikiXsf, 

 1 



so ergiebt sich eine einfache Recfel zur Bildung der infinitesimalen »egei zur 



" ci a Berechnung 



Transformationen Ekf der adjungierten Gruppe: Man stellt den Aus- der £,,/. 

 druck {EeiXi, Xj) ^ H ei Ciki X^f her und setzt darin schliesslich 



statt X,f allgemein -J-' Hiernach kann man die infinitesimalen Trans- 



formationen der adjungierten Gruppe sofort hinschreiben, wenn man 

 nur die Constanten dha, also die Zusammensetzung der ursprünglichen 

 Gruppe kennt. 



1. Beispiel: Bei der Gruppe aller Bewegungen in der Ebene Beispiele. 



p q xq — yp 



ist 



{p, q) = 0, (p, xq — yp) = q, {q, xq — yp) = — p, 



also nach der soeben angegebenen Regel: 



jp r df 7-, r ?/" T-7 r ^f_ Cf_ 



Dies stimmt mit dem 1. Beispiel in § 1 überein. Die Gruppe der Be- 

 wegungen enthält keine ausgezeichnete infinitesimale Transformation. 

 Dies steht in Einklang damit, dass die adjungierte Gruppe ebenfalls 

 dreigliedrig ist. 



2. Beispiel: Bei der Gruppe aller Rotationen um den Coordinaten- 

 anfang des Raumes (x, y, z): 



XJ=zq — yr, X^f^xr — zp, XJ=yp — xq 

 ist 



(Xj Xg) ^ Xg f (Xg Xg) ^ Xi f (Xg Xj ) ^ Xg f, 



also nach der obigen Regel: 



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