468 Kapitel 18, §§ 2, 3. 



Man vergleiche das 2. Beispiel in § 1. Auch die hier vorliegende 

 Gruppe Xi/, Xg/', Xg/" enthält keine ausgezeichnete infinitesimale 

 Transformation. 



5. Beispiel: Betrachten wir die viergliedrige Gruppe aller homo- 

 genen linearen Transformationen in der Ebene : 



xp yp xq yq. 

 Hier ist 



(xp, yp) = — yp, {xp, xq) = xq, {xp, yq) = 0, 



{yp, xq) = yq — xp, {yp, yq) ~ — yp, 



(xq, yq) = xq, 

 also die adjungierte Gruppe: 



J^lT — h ge^ ^3 gg^ » ^2/ = ^3 g;;- + 1^4 — «J ä^ — «3 ä^ ; 



^3 /■ = - ^2 a^ + (^, - ^4) af + ^2 ^ , EJ=-e,^ + e,§f^. 



Man sieht, dass zwischen E^^f..E^f die lineare Relation besteht: 



EJ+EJ=Q. 



Die adjungierte Gruppe ist also nur dreigliedrig. Dies liegt darin, 

 dass die gegebene Gruppe eine ausgezeichnete infinitesimale Transfor- 

 mation enthält, nämlich xp -{■ yq. 



§ 3. Untergruppen, gleichberechtigte Untergruppen, invariante 



Untergruppen. 



Jetzt gehen wir zu den eigentlichen Anwendungen der adjungier- 

 ten Gruppe über, indem wir dem Problem näher treten, die Unter- 

 gruppen einer gegebenen Gruppe zu bestimmen. 



Vorgelegt sei wieder eine r-gliedrige Gruppe X^^f.-Xrf in n 



Veränderlichen Xi..Xn, und E^f..Erf sei ihre adjungierte Grtippe. 



.bbiidung Alsdann stellen wir eine infinitesimale Transformation I^e^Xif, also auch 



[er eingl. 



itergr. aisdic von ihr erzeugte eingliedrige Untergruppe als Punkt eines Raumes 



Punkte . ° & ö O ff 



les /f;._i.von r — 1 Dimensionen oder also r*^' Stufe jRr— 1 niit den homogenen 

 Coordinaten e^^. . Cr dar, wie zum Schluss des § 1. Die adjungierte 

 Gruppe vertauscht die eingliedrigen Untergruppen der gegebenen 

 Gruppe unter einander, dementsprechend auch die Punkte (e^ : • • • : Cr) 



