Untergruppen, gleichberechtigte Untergruppen, invariante Untergruppen. 469 



des Rr-i. In diesem Räume, finden eben diese Vertauschungen ihr^^'^-^'^J^^^^'i, 

 anschauliches Bild. ^brS^' 



Aber jeder Punkt des jR^-i hat zweierlei Bedeutung: Bei der Doppelte 

 adjungierten Gruppe werden ja die Transformationen der gegebenen ''^jedes^ 

 Gruppe einmal als Individuen aufgefasst, die unter einander vertauscht 

 werden, das andere Mal als Operationen, denen diese Individuen unter- 

 worfen werden. Wir haben demnach einen Punkt (fj :•••:£;.) des Rr—i 

 erstens als Individuum, nämlich als Repräsentanten einer eingliedrigen 

 Untergruppe der ursprünglichen Gruppe, zweitens aber als Bildpunkt 

 von Transformationen der adjungierten Gruppe aufzufassen, nämlich 

 derjenigen, die anzeigen, wie die Transformationen der ursprüng- 

 lichen Gruppe unter einander vertauscht werden, sobald man auf sie 

 Transformationen der eingliedrigen Gruppe ^Jf^X^/ ausübt. Es stellt 

 also jeder Punkt (s^ : • • • : Sr) des Raumes Br-i zwar einerseits einen 

 Punkt, andererseits aber auch Transformationen in diesem Räume dar. 



Beispiel: Diese doppelte Auffassung tritt z. B. bei der Gruppe Beispiel. 

 aller Rotationen um einen festen Punkt, den Anfangspunkt 0: 



zq_ — yr xr — zp yp — xq 

 mit der adjungierten Gruppe 



cf cf cj_ £L o ^ — p ^± 



auch geometrisch deutlich hervor. Wir deuten e^, e.^, Cg als homogene 

 Coordinaten eines Punktes einer Ebene und zwar wählen wir als diese 

 Ebene wie im 2. Beispiel des § 1 die unendlich ferne Ebene des 

 Raumes {x, y, 0), indem wir als Punkt (e^ : e^ : %) den Punkt dieser 

 Ebene bezeichnen, in dem der Strahl vom Anfangspunkt 



- =^P^ = - 



Cj €2 Cg 



sie trifft. Dann stellt ein unendlich ferner Punkt (e^ : e^ : e^) oder 

 P alle Rotationen dar um die Axe OP. Andererseits stellt er 

 aber auch Transformationen der adjungierten Gruppe dar. Nun 

 ist die adjungierte Gruppe in e^, e^, e^ identisch mit der vor- 

 gelegten in x, y, z. Da wir sie in der unendlich fernen Ebene deuten, 

 so stellt sie also die Rotationen der unendlich fernen Ebene in sich 

 dar. Jeder Punkt P ist also der Ausdruck aller Rotationen der un- 

 endlich fernen Ebene in sich um den Punkt P. Bei einer solchen 

 Rotation werden alle Punkte Q dieser Ebene unter einander vertauscht, 

 \ und die Punkte Q sind dann als Bildpunkte der Rotationen der ge- 

 gebenen Gruppe um die Axen OQ z\x betrachten. 



