470 Kapitel 18, § 3. 



Üben wir auf die oo*"— ^ eingliedrigen Untergruppen ZßkXkf der 

 ursprünglichen Gruppe nach und nach alle Transformationen der ein- 

 gliedrigen Gruppe ZskXkf aus, so werden sie continuierlich unter 

 einander vertauscht: Die Punkte (eii- - ■ : er) beschreiben also im Br-i 

 [f^^'^l^^^ Bahnen. Insbesondere wird die Tangentialrichtung der Bahncurve im 

 <ie8Ä,_i. Punkte (e^i-'-ier) dadurch bestimmt, dass man auf die Transformation 

 ZCkXkf die infinitesimale Transformation 2:£AZi/' ausübt. Dies haben 

 wir zu Beginn des vorigen Paragraphen gethan, indem wir dort in 

 Formel (16) bez. (18) die Grössen £ bez. s^. .Sr schliesslich unendlich 

 klein wählten. Wenn wir die beiden infinitesimalen Transformationen 

 mit Xf und Yf bezeichnen, so können wir das dortige Ergebnis zu- 

 nächst so formulieren: 



Satz 2: Die infinUesimale Transformation Xf geht durch Aus- 

 führung einer infinitesimalen Transformation Yf auf sie über in die 

 infinitesimale Transformation 



Xf^{XY)dt. 



Wählen wir Xf als IJe^X^f und Yf als Ss^X^f, so finden wir, 

 dass üekXkf vermöge Zs^X^f übergeht in*) 



r r 



2e,'Xkf=^kekXkf+ dt ^k^ ekS^iX^X,). 

 1 1 



e^. .er erfahren also gewisse Incremente, sie erleiden eben die in § ^ 

 berechnete infinitesimale Transformation UskEkf. Nun ist ZekXkf 

 durch einen Punkt und auch der Klammerausdruck {ZekXk, 2JsiXi), 

 da er wieder eine infinitesimale Transformation der gegebenen Gruppe 

 darstellt, durch einen Punkt des Raumes B^-i repräsentiert. Unsere 

 Formel giebt also den wichtigen 



iwegimgi-^ ^**^ ^' ^^^^^ ^^«^ ^^^ ^'■"^ eingliedrigen Untergruppen ZekXkf 

 vn^).tlr^^^^^ ^-gliedrigen Gruppe XJ. . Xrf als Funhte eines {r — lyfach aus- 

 'es ifr~i. gedehnten Baumes mit den homogenen Coordinaten ei. .er, und führt man 

 auf die eingliedrige Untergruppe SckX^f alle Transformationen einer an- 

 deren eingliedrigen Untergruppe ZsiXif aus, so beschreibt der BildpunU 



*) Wir wollen beiläufig darauf aufmerksam machen, dass sich der Haupt- 

 satz der Gruppentheorie infolge dieser Formel so aussprechen lässt: 



Die von einer Schar von infinitesimalen Transformationen erzeugten endlichen 

 Transformationen T^ stellen dann und nur dann eine Gruppe dar, loenn auch jede 

 Aufeinanderfolge T~iT^T^ der Schar der T^ angehört, das heisst: loenn die Schar 

 der Tj in sich übergeht, sobald man auf sie irgend eine Transformation T^ ausübt. 

 Die Gruppeneigenschaft T^T^ = T^ wird also in dem Hauptsatze auf die Eigen- 

 schaft T-i T^T^ = T^ zurückgeführt. 



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