Untergrnppen, gleichberechtigte Untergruppen, invariante Untergrappen. 471 



von I^CkXkf eine Curve, deren Tangente im PunJcte (e^: • • • : Cr) die Ge- 

 rade ist, die diesen PunU mit dem BildpunU von (UekXjcf, HsiXif) ver- 

 bindet. Werden umgekehrt auf die eingliedrige Untergruppe UsiXif alle 

 Transformationen der eingliedrigen Untergruppe Ue^X^f ausgeübt, so 

 beschreibt der BildpunU («i: • • • : fr) eine Curve, deren Tangente im PunJcte 

 {si:---:£r) die Gerade ist, die diesen Punkt mit dem Bildpunkt von 

 {UejcXkf, SsiXif) verbindet. 



1. Beispiel : Bei der dreigliedrigen Gruppe der einfachen Mannig- Beispiele. 



faltigkeit 



p xp x^p 



stellen wir allgemein e^p + e^xp + e^^x^p durch einen Punkt einer 

 Ebene dar mit den homogenen Coordinaten e^, e^, e^, sodass die Ecken 

 des Coordinatendreiecks insbesondere die Bild- 

 punkte von p, xp, x^p sind. (Siehe Fig. 39.) 

 Es ist (p, xp) ^ p. Mithin geht p vermöge xp 

 über in p -\- pSt, also in sich, ferner xp ver- 

 möge p in xp -\- pdt, sodass sich der Bildpuukt 

 von xp vermöge p in der Richtung nach p be- 

 wegt. Dies ist in Fig. 39 durch den Pfeil vom 

 Punkte xp zum Punkte p zum Ausdruck ge- 

 bracht. Weiterhin ist {xp, x^p) ^ x^p. Daher rig. 39. 

 der Pfeil von xp nach x^p. xp geht vermöge 



x^p in xp -^ x^pdt über, während x^p vermöge xp in sich übergeführt 

 wird. Endlich ist {p, x^p) = 2xp. Mithin geht p vermöge x^p in 

 p -\- xpdt über und x^p vermöge p in x^p ■}- xpdt. Beides ist in der 

 Figur durch die mit Pfeilen nach xp zeigende, sich zum Teil an die 

 Gerade von p nach x^p anschmiegende Linie angedeutet. Das hier- 

 mit gewonnene schematische Bild für die Zusammensetzung der vor- 

 gelegten Gruppe ist, wie wir sehen werden, für die Praxis recht 

 nützlich. 



Wenn insbesondere zwei infinitesimale Transformationen SCkXkf 

 und ZJejcXkf mit einander vertauschbar sind, also 



iZe,Xkf, 2J8,X,f) = 



ist, so sind nach Satz 6, § 2 des 17. Kap., die endlichen Transfor- 

 mationen S der Gruppe Ee^Xkf mit den endlichen Transformationen 

 T der Gruppe 2; f^ X;fc/' vertauschbar. Es ist also auch T-^ST=S 

 und S-^TS=T. Also bleibt dann die Untergruppe ScuXkf unge- 

 ändert, wenn man auf die Gruppe Xi/".. X;-/" irgend eine Transforma- 



