Ebene 

 Mannig- 



üntergruppen, gleichberechtigte Untergruppen, invariante Untergruppen. 473 



deren homogene Coordinaten Const. e^ + Const. e^ + Const. l'k -\- ' - ■ 

 (Ji = 1, 2 . .r) sind, offenbar durch einen Punkt der von jenen Bild- 

 punkten bestimmten kleinsten ebenen Mannigfaltigheit, d. h. Mannig- 

 faltigkeit, die durch lineare Gleichungen dargestellt wird, gegeben. ^^^^I'^^"* 

 Dies lässt sich sofort umkehren, und wir sehen: 



Bei unserer Abbildungsmethode werden alle infinitesimalen Trans- 

 formationen E Const. Xkf, die von s von einander unabhängigen ab- 

 hängen, durch die Punkte einer ebenen Mannigfaltigkeit s*®' Stufe 

 dargestellt, und umgekehrt stellen alle Punkte einer ebenen Mannig- 

 faltigkeit s*®' Stufe im Mr—i alle oo*~^ infinitesimalen Transforma- 

 tionen der Gruppe X^f. . Xrf dar, die aus gewissen s von einander 

 unabhängigen linear ableitbar sind. 



Liegt nun eine s-gliedrige Untergruppe der gegebeneu ^i'uppe^-^^^J^ii^^^^^ 

 Xj/'. , Xr/" vor, also eine in dieser Gruppe enthaltene Gruppe (s < r), g^uprc. 

 so besitzt sie oo*~^ infinitesimale Transformationen, die aus s von 

 einander unabhängigen linear ableitbar sind. Mithin folgt, dass jede 

 s-gliedrige Untergruppe g^ der gegebenen Gruppe durch eine ebene 

 Mannigfaltigkeit s**^"" Stufe des Ur—x dargestellt wird. 



Beispiel: Betrachten wir die Gruppe p, g, rrg. Ihre allgemeine Beispiel. 

 eingliedrige Untergruppe e^p -\- e^q -f- e^xq wird durch einen Punkt 

 der Bildebene (vgl. das 5. obige Beispiel) dargestellt. Ihre allgemeine 

 zweigliedrige Untergruppe sei zunächst : 



^p H~ >"3' + ^^(Z QP '\~ ^ü-\- 'txq- 



Klammeroperation liefert, dass auch (Ar — Qv)q der Untergruppe an- 

 gehört. Sind also die infinitesimalen Transformationen der Unter- 

 gruppe vertauschbar, so ist Xt — qv = und also die Untergruppe 

 von der Gestalt: 



X{p -f axq) -f- ^q q[{p -f ccxq) + 0q 



oder einfacher 



q Xp -j- axq. 



Sind aber die infinitesimalen Transformationen nicht vertauschbar, so 

 ist Ar — Qv=^Of also gehört dann q der Untergruppe an, die daher 

 so zu schreiben wäre: 



q Qp -{- txq. 



Dann besteht sie aber doch aus vertauschbaren Transformationen. 

 Jede zweigliedrige Untergruppe hat mithin die Form 



q Ip -\- axq. 



