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Kapitel 18, § 3. 



Ap + «^3 hat zum Bild (Fig. 44) einen Punkt auf der Geraden von p 

 nach xq. Mithin wird jede zweigliedrige Untergruppe durch einen 

 der von q ausgehenden Strahlen dargestellt. Wir 

 werden bald sehen, wie umgekehrt das schema- 

 tische Bild wertvolle Hülfe zur schnellen Be- 

 stimmung der Untergruppen zu leisten vermag. 



jp(/ 



Wir nennen zwei Untergruppen der Gruppe 

 Xi/". . Xrf mit einander gleichhereclitigt innerhalb 

 Fig. 14. dieser Gruppe, wenn sie vermöge einer Trans- 



formation der Gruppe X^f . . Xrf in einander 

 überführbar sind. Offenbar braucht man von allen mit einander gleich- 

 berechtigten Untergruppen immer nur eine, einen Typus, zu kennen, 

 um damit alle zu haben, denn alle gleichberechtigten ergeben sich, 

 indem man auf den Typus alle Transformationen der gegebenen Gruppe 

 ausübt. 



)er'ecMrt Sprechcu wir zunächst von den eingliedrigen Untergruppen. Jede 



ingi.unter-solche wird durch einen Punkt abgebildet. Zwei eingliedrige Unter- 



gruppea. _ '-' o o 



gruppen sind mit einander innerhalb der gegebenen Gruppe gleich- 

 berechtigt, wenn sie vermöge einer Transformation der gegebenen 

 Gruppe in einander verwandelt werden können, mit anderen Worten, 

 wenn es eine Transformation der adjungierten Gruppe giebt, die den 

 Bildpunkt der einen in den der anderen überführt. Ist die adjungierte 

 dj GruppeGruppe im Räume Br—i transitiv, so kann ieder Punkt allgemeiner 



11 transitiv. ^ ^ _ ' J ö 



Lage des Rr—i in jeden solchen verwandelt werden. Dann sind also 

 alle allgemeinen eingliedrigen Untergruppen UekXkf innerhalb der 

 Gruppe Xj^f. . Xrf mit einander gleichberechtigt. Dagegen giebt es 

 dann eventuell Punkte specieller Lage (e^:- ••: e^.), d. h. Punkte, welche 

 die adjungierte Gruppe nicht in alle Punkte des Br-i überzuführen 

 vermag, die also auf Mannigfaltigkeiten im Rr-i liegen, die bei der 

 adjungierten Gruppe invariant sind. Diese sind dann Bildpunkte von 

 eingliedrigen Untergruppen, die nicht mit der allgemeinen eingliedrigen 

 Untergruppe Se^X^f gleichberechtigt sind. 



Beispiel: Die allgemeine projective Gruppe der einfachen Mannig- 

 faltigkeit p, xp, x^p besitzt die adjungierte Gruppe 



Beispiel. 



IL 



dej_ 



2e, 



de,,. 



K 



de. 



2e ^^e ^ 

 ^^1 de, ^ ^2 ae. 



Diese Gruppe transformiert die Ebene mit den homogenen Coordinaten 

 e^: e^: e.^ transitiv, wie man z. B. dadurch einsehen kann, dass man 



