Untergruppen, gleichberechtigte Untergruppen, invariante Untergruppen. 475 



nicht-homogene Coordinaten £ =— , 'i) => * einführt, wodurch sie die 

 offenbar transitive Form annimmt: 



Man könnte in dieser nicht -homogenen Schreibweise die vorhandenen 

 invarianten Gebilde untersuchen. Wir wollen jedoch die homogene 

 Schreibweise beibehalten. Dabei haben wir aber zu bedenken, dass 

 es bei e^, e^, e^ nur auf ihre Verhältnisse ankommt. Wir müssen 

 daher noch zu den infinitesimalen Transformationen der adjungierten 

 Gruppe die hinzufügen, die alle Verhältnisse ungeändert lässt: 



^z" . „ ^/ , „ 1/;. 



de. ' 



^^ de "^ ^2 ^^ "I" ^3 



de. 



l 



Nun ergeben sich die invarianten Gebilde nach § 4 des 16. Kap. in 

 bekannter Weise. Wir bilden die Matrix: 



— e. 



-2e, 

 2e^ €2 



und setzen ihre dreireihigen Determinanten gleich Null. Dies giebt 

 da ^1, ^2? ^3 Dicht sämtlich Null sein dürfen: 



e,^ — 4^163 = 0, 

 während alle zweireihigen Determinanten überhaupt nur für 



verschwinden. Das einzige invariante Gebilde ist also der Kegel- 

 schnitt (Fig. 45): 



e^2 — 4^163 = 0. 



Die vorliegende adjungierte Gruppe ist 

 nämlich die allgemeine projective Gruppe 

 dieses Kegelschnittes. (Vgl. § 3 des 

 11. Kap.) Wir sehen also: Es sind alle 

 eingliedrigen Untergruppen 



e^p -f e^xp + c^x^p 



der gegebenen Gruppe mit einander gleichberechtigt, in denene^^— 4eie3=j=0 

 ist. Eine solche dagegen, bei der 63^ — '^^i^a =0 ^^^j is* ^^^ ™i^ 

 denen gleichberechtigt, für die dasselbe stattfindet. Dies stimmt mit 

 den Ergebnissen des § 1 des 5. Kap. übereiu. Bei Untergruppen der 



