476 Kapitel IS, § 3. 



letzten Art ist nämlich e^ + CgO; + e^x^ ein vollständiges Quadrat. 

 Da durch Nullsetzen dieses Ausdrucks die bei e^p -\- e^xp -j- e^x^p 

 invarianten Punkte sich ergeben, so sehen wir: die eingliedrigen 

 Untergruppen vom ersten Typus sind diejenigen, bei denen zwei ge- 

 trennte, die vom zweiten Typus diejenigen, bei denen zwei zusammen- 

 fallende Stellen der einfachen Mannigfaltigkeit (x) in Ruhe bleiben. 



Dies Ergebnis lässt sich leicht verallgemeinern: Die obige ad- 

 jungierte Gruppe gehört nämlich überhaupt zu jeder dreigliedrigen 

 Gruppe X^f, X^f, X^f, bei der 



{X,X,)~XJ, (X,X,) = 2XJ, {X,X,) = X,f 



ist. Wir werden später (Kap. 20, § 2) zeigen, dass jede dreigliedrige 

 Gruppe Y^f, Y^f, Y^f, deren drei Klammerausdrücke {Y^Y^, (^i^z), 

 (F2Y3) keine lineare Relation erfüllen, durch passende Auswahl der 

 infinitesimalen Transformationen auf die vorstehende Form gebracht 

 werden kann*). Also folgt: 



Jede dreigliedrige Gruppe X^f, X^f, X^f, deren Klammerausdrücke 

 (X^Xg), (Z2X3), (XgXJ von einander unabhängig sind, besitzt zwei 

 Arten von gleichberechtigten eingliedrigen Untergruppen. Die einen 

 sind in der Ebene der adjungierten Gruppe durch die Punkte allge- 

 meiner Lage, die anderen durch die eines Kegelschnitts dargestellt. 



Gruppen von dieser Gestalt spielen in der Gruppentheorie an vielen 

 Stellen eine besonders wichtige Rolle. 



un^B^sit" Nehmen wir jetzt an, die adjungierte Gruppe E^f. . Erf der ge- 

 gebenen Gruppe X^f. . Xrf sei im Räume Br—x intransitiv. Dann wird 

 dieser Raum in Scharen von invarianten Mannigfaltigkeiten zerlegt 

 und Punkte auf verschiedenen invarianten Mannigfaltigkeiten stellen 

 wesentlich verschiedene Typen von eingliedrigen Untergruppen der 

 gegebenen Gruppen dar. Dasselbe gilt von den Punkten etwa vor- 

 handener einzelner invarianter Mannigfaltigkeiten. In diesem Falle 

 giebt es also sicher eine unendliche Anzahl von Typen eingliedriger 

 Untergruppen, das allgemeine Symbol eines solchen Typus enthält 

 also dann noch wesentliche willkürliche Constanten oder Functionen. 



Beispiel. Beispiel: Es liege die Gruppe vor: 



mit der adjungierten 



p xp q 

 ^2 de^ ^1 de, ' 



*) Siehe auch „DifFgln. m. Inf. Trf.", § 2 des 21. Kap. 



