Untergruppen, gleichberechtigte Untergruppen, invariante Untergruppen. 477 



die intransitiv ist. Diese adjuugierte besitzt also eine Invariante (vgl. 

 § 1 des 8. Kap.). Sie zu finden, hat man das vollständige System 

 zu bilden: 



~^^d^~^' ^1 de, ~ ^' ^1 de, "^ ^2 ^e; 



+ «; 



3 de.. ^' 



wobei die letzte Gleichung deshalb hinzuzufügen ist, weil wir eine 

 Invariante suchen, die in e^, e^, % homogen von nullter Ordnung ist. 



Es ergiebt sich sofort als Invariante -• Also bei der adjungierten 

 Gruppe bleibt jede Gerade — = Const. in Ruhe, d. h. jeder Strahl 



durch den Bildpunkt von p. (Fig. 46.) Um die einzeln invarianten 

 Curven oder Punkte zu finden, setzen wir alle 

 zweireihigen Determinanten der verschwinden- 

 den dreireihigen 



— c^ 

 Ci 



^1 ^2 ^3 



gleich Null. Dies giebt e^ = und e^^e^ = 0, 



d. h. entweder den Bildpunkt von p oder den Kg 46. 



von q. Alle einreihigen Determinanten sind nur 



für 6^= e^ = e^ = 0, also für ausgeschlossene Werte, gleich Null. 



Ein Punkt des Strahles ^ = c (c 4= ö) stellt eine eingliedrige Unter- 

 es 

 gruppe q -\- cxp -\- Const. p dar und kann in jeden anderen Punkt 

 dieses Strahles mit Ausnahme des. einzeln invarianten Punktes p über- 

 geführt werden. Jede solche ist also gleichberechtigt mit q -j- cxp. 

 c dagegen ist wesentlich, denn die adjungierte Gruppe kann zwei 

 Strahlen durch p nicht in einander überführen. Ist c = 0, also 

 q -\- Const. p die Untergruppe, so liegt ihr Bildpunkt auf der Geraden, 

 die p mit q verbindet. Jeder Punkt dieser Geraden kann in jeden 

 anderen, mit Ausnahme der für sich invarianten Punkte p, q über- 

 geführt werden, also etwa in p -\- q. Daher haben wir hier die Typen 

 von eingliedrigen Untergruppen: 



q-\-cxp{c=^0), p + q, p, q. 



Der erste stellt, da c beliebig ist, oo^ Typen dar. 



Wir kommen nun allgemein zu s-gliedrigen Untergruppen Os der a-giiedr. 

 gegebenen Gruppe X^f. . Xrf. Eine solche wird, wie gesagt, durch 

 eine ebene Mannigfaltigkeit M^—i von s*''' Stufe im Räume Jir-i dar- 



