478 Kapitel 18, § 3. 



gestellt. Es fragt sich nun, welches Kriterium sich dafür aufstellen 

 lässt, dass eine ebene Mannigfaltigkeit Ms—i des JR^— i eine Unter- 

 gruppe der gegebenen Gruppe repräsentiere. Da die adjungierte 

 Gruppe linear ist, so führt sie, wie wir wissen, jede ebene Mannig- 

 faltigkeit in ebene Mannigfaltigkeiten über. Die ebenen Mannigfaltig- 

 keiten, die Untergruppen der Gruppe X^f. . Xrf darstellen, müssen 

 also noch eine besondere charakteristische Eigenschaft haben. 



Um diese zu finden, bedenken wir, dass jede Gruppe bei Aus- 

 führung einer ihrer eigenen Transformationen auf sie in sich übergeht, 

 nach Satz 6, § 4 des 6. Kap. Ist also z. B. X^f. . X^f eine s-glie- 

 drige Untergruppe g^ der Gruppe X^f . . Xrf, d. h. ist jedes (X^X*) für 

 i, Jc^s linear aus X^f..Xgf allein ableitbar, so geht im Räume 



bar Eig6n-_R^ _ ^ der Bildpuukt einer beliebigen eingliedrigen Untergruppe 

 ebenen ß^x^f -\- • ' -\- e^Xgf der Gruppe g^, also ein Punkt der gs darstellen- 



ine Unter- den Mannigfaltigkeit s*" Stufe JlC — i, wieder in einen Bildpunkt über, 



ruppe dar- . . 



stellt, der in der -M",_i gelegen ist, sobald eine solche Transformation {s^ . . Sr) 

 der adjungierten Gruppe ausgeübt wird, deren Bildpunkt (s^i-'-.Sr) eben- 

 falls in der ebenen Mannigfaltigkeit Mg — i liegt. 



Wenn umgekehrt im Räume jR^-i eine (s — l)fach ausgedehnte 

 ebene Mannigfaltigkeit Ms — i existiert derart, dass jeder ihrer Punkte 

 (e^i'-ier) bei Ausführung irgend einer Transformation der adjungierten 

 Gruppe, deren Bildpunkt (cj :••:£;.) ebenfalls in der Mg—i liegt, stets 

 wieder in einen Punkt der Jf^—i übergeht, so stellt, wie wir zeigen 

 werden, dieser M, eine s-gliedrige Untergruppe g^ der Gruppe Gr dar. 



In der That, zunächst stellt die Jf,_i eine lineare Schar von ein- 

 gliedrigen Untergruppen der Gruppe Gr dar, die aus s von einander 

 unabhängigen ableitbar ist. Ferner, wenn die Punkte (ej^Z'-iCr) und 

 (fj:- •:£;.) auf ihr liegen, so soll nach Voraussetzung insbesondere die 

 eingliedrige Untergruppe ZekXkf vermöge UsiXif wieder in eine ein- 

 gliedrige Untergruppe übergehen, deren Bildpunkt auf Mg—i liegt. 

 Nun aber bewegt sich bei Ausführung von UsiXif der Bildpunkt 

 (ey-'-.er) in der Richtung auf den Bildpunkt von {EekX^f, SsiXif) zu, 

 nach Satz 3. Daher liegt auch dieser Bildpunkt in der Ms—i, d. h. 

 der Klammerausdruck irgend zweier auf der Jf«_i dargestellten in- 

 finitesimalen Transformationen der Gr gehört der von der Jf«_i be- 

 stimmten linearen Schar an. Nach dem Hauptsatze bildet mithin diese 

 lineare Schar von oo* Transformationen der Gr, die durch M^—i reprä- 

 sentiert werden, eine s-gliedrige Gruppe. 



Satz 4: Beutet man die oo''— ^ eingliedrigen Untergruppen EekX^f 

 einer r-gliedrigen Gruppe X^f. . Xrf als Punkte eines (r — l)fach aus- 

 gedehnten Baumes mit den homogenen Coordinaten e^. . er, so ist die not- 



