Untergruppen, gleichberechtigte Untergruppen, invariante Untergruppen. 479 



wendige und hinrächende Bedingung dafür, dass eine ehene Mannigfaltig- 

 lieit s"^ Stufe Ms-i dieses Raumes eine s-gliedrige Untergruppe der 

 Gruppe Xif..Xrf darstellt, diese: Jeder Punkt der M^-i muss hei Aus- 

 führung irgend einer Transformation der adjimgierten Gruppe, deren Bild- 

 punkt ebenfalls in der M^-i liegt, ivieder in einen Punkt der Mg—i 

 üher gellen, d. h. die Mg — i muss invariant sein gegenüber allen Transfor- 

 mationen der adjungierten Gruppe, die durch ihre eigenen Punkte dar- 

 gestellt werden. 



Eine ebene M^-i, die eine s-gliedrige Untergruppe, z. B. X^f.Xgf, 

 darstellt, geht also bei allen Transformationen, die von den E^f,.Esf 

 erzeugt werden, in sich über. Ist nun die adjungierte Gruppe selbst 

 r-gliedrig, so gestattet die Mg— i sicher mindestens oo" Transformationen 

 der adjungierten Gruppe, sie geht daher in höchstens oo'""'' verschie- 

 dene Lagen über. Dies letztere gilt offenbar auch, wenn die ad- 

 jungierte Gruppe weniger als r-gliedrig ist. 



1. Beispiel: Wir betrachten wieder die Gruppe^ xp x^p. Bei i- Be ispiei 

 ihrer adjungierten Gruppe bleibt, wie wir sahen, ein Kegelschnitt in 

 Ruhe (siehe Fig. 45). Jede zweigliedrige Untergruppe wird durch 

 eine Gerade dargestellt. Der Klammerausdruck zweier Transforma- 

 tionen auf der Geraden muss wieder auf der Geraden liegen. Dies ist 

 offenbar für die beiden Tangenten des Kegelschnittes der Fall, die vom 

 Bildpunkt von xp ausgehen, wie die Pfeile zeigen. Nun aber ist die 

 adjungierte Gruppe die allgemeine projective Gruppe des Kegelschnittes. 

 Sie führt also jede Tangente in jede andere Tangente über. Alle 

 Tangenten des Kegelschnittes stellen somit gleichberechtigte Unter- 

 gruppen dar. Irgend eine andere Gerade der Ebene geht bei der ad- 

 jungierten Gruppe, die selbst dreigliedrig ist, in jede beliebige Gerade 

 allgemeiner Lage über. Sie ist daher nach 

 dem obigen Zusatz zu Satz 4 sicher nicht 

 die Bildgerade einer zweigliedrigen Unter- 

 gruppe. Es sind somit alle zweigliedrigen 

 Untergruppen der Gruppe p xp x^p gleich- 

 berechtigt. Als Typus können wir etwa 

 die wählen, deren Bild die Tangente in p 

 ist, also p xp. Dies stimmt mit Satz 6 

 in § 2 des 5. Kap. überein. 



3. Beispiel: Vorgelegt sei die Gruppe y^ 



Flg. 47 



p xp q yq, 



die im Räume abzubilden ist. (Fig. 47.) Ihre adjungierte Gruppe 

 lautet : 



