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Kapitel 18, § 3. 



df_ 



df_ 

 de. 



de. 





Suchen wir zunächst die invarianten Punkte, Curven und Flächen. 

 Offenbar ist die Gruppe intransitiv. Das vollständige System: 



de, ^' 



dCa 



= 0, 



^ oe, ' 



+ ^4 



de^ 



= 



liefert ihre Invariante — 

 e^ 



Jede Ebene - = Const., das heisst jede 



Ebene durch die Bildpunkte von p und q ist somit invariant. Um 

 die isolierten invarianten Gebilde zu bestimmen, bilden wir die Matrix 

 unter Hinzufügung der infinitesimalen Transformation 



df 



^1 ät "^ ^' 



de. "^ ^ de. 



die wie immer aussagt, dass wir e^, e^j e^ als homogene Veränderliche 

 auffassen, in der Form: 



^2 





 





 

 

 



^9 



Die vierreihigen Determinanten der Matrix sind sämtlich Null. Null- 

 setzen der dreireihigen giebt entweder e^ = Cg == oder e^ = e^ = 

 oder 62 = ^4 = 0. Daher sind die drei Geraden von q nach yq, von 

 p nach xp und von p nach q invariant, und zwar kann ein allge- 

 meiner Punkt einer dieser Geraden in jeden anderen allgemeinen Punkt 

 derselben Geraden übergehen, denn Nullsetzen der zweireihigen Deter- 

 minanten liefert nur zwei invariante Punkte: e^ = €^ = e^ = 0, d.h. q, 

 und e^ = 63 == e^ = 0, d. h. p. Mithin ergiebt sich: Ein Punkt all- 

 gemeiner Lage kann in jeden Punkt allgemeiner Lage übergeführt 

 werden, der in der Ebene durch den ursprünglichen Punkt und p und 

 q gelegen ist. Also ist etwa 



xp -\- cyq (c =4= 0) 



der Typus der allgemeinen eingliedrigen Untergruppe der gegebenen 

 Gruppe, c ist dabei wesentlich. Punkte specieller Lage sind erstens 

 die der Ebene durch p, q und xp. Ein Punkt allgemeiner Lage dieser 

 Ebene kann in jeden Punkt allgemeiner Lage in dieser Ebene über- 

 gehen, also z. B. in 



q -\- xp. 

 Entsprechend ist 



