Untergruppen, gleichberechtigte Untergruppen, invariante Untergruppen. 481 



p-\ryq 



Typus einer Schar von eingliedrigen Untergruppen. Punkte specieller 

 Lage sind ferner die der invarianten Geraden. Ein allgemeiner Punkt 

 der Geraden von p nach xp kann in 



xp 

 übergeführt werden. Analog kommt der Typus 



Vi- 

 Ein Punkt allgemeiner Lage der Geraden von p nach g- kann in 



p^q 



verwandelt werden. Schliesslich bleiben noch die beiden einzeln in- 

 varianten Punkte 



p, q. 



Damit sind alle Typen von eingliedrigen Untergruppen der gegebenen 

 Gruppe bestimmt. 



Wir kommen zur Bestimmung der zweigliedrigen Untergruppen. 

 Jede derselben wird durch eine Gerade dargestellt. Seien zunächst 

 allgemein 



e^p + e^xp + e^q + e^yq s^p -f s^xp -{- s^q + s^yq 

 zwei Punkte einer solchen Geraden. Der Klammerausdruck liefert: 



(«1^2 — «1^2)^ + (63^4 — h^da- 

 Besteht zunächst die Gruppe aus nicht vertauschbaren Transforma- 

 tionen, so muss also die sie darstellende Gerade die Gerade von p 

 nach q schneiden. Enthält sie zunächst weder p noch q selbst, so 

 dürfen wir die Untergruppe so annehmen: 



p+ Iq s^xp + £3^ + E^yq (A 4= 0) . 

 Nun giebt der Klammerausdruck, der nicht Null sein soll: 



hP -\- ^s<q- 



Dieser Punkt muss mit p -\- Iq identisch sein, weil sonst die Gerade 

 durch p und q ginge. Daher ist 



Ie^ = IE2 oder f^ = s^, 



d. h. wir haben die Gruppe: 



p + kq £,{xp ■\- yq) -^ £^q. 



Sie wird durch eine beliebige Gerade dargestellt, die in der Ebene 

 durch p, q und xp -f- yq liegt. Geht die Gerade dagegen durch p, 

 aber nicht durch q, so haben wir: 



p e.^xp + s^q + £^yq 



liie, Continuierliche Gruppen. 3£ 



