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Kapitel 18, § 3. 



und den Klammerausdruck s^p. Es ist dies also eine beliebige Ge- 

 rade durch p. Analog ergiebt sich eine beliebige Gerade durch g-, 

 als Specialfall die Gerade von p nach q. Wenn femer die Unter- 

 gruppe 



e^p + e^xp + e^q + e^yct s^p + s^xp -j- s^q + s^yq 



aus vertauschbaren Transformationen besteht, so haben wir 



daher auch diese Form der Untergruppe: 



e^p-\-e^xp fg^ -f s^yq, 

 also eine beliebige Gerade, welche die beiden Geraden von p nach xp 

 und q nach ?/g' schneidet. Hiermit sind alle Geraden bestimmt, die 

 zweigliedrige Untergruppen darstellen, nämlich alle Geraden der Ebene 



durch 'p, q, xp -\- yq, alle 

 Geraden durch p, alle durch g, 

 alle Geraden, welche die beiden 

 Geraden von p nach xp und 

 von q nach yq treffen. Sie 

 sind in Fig. 48 angedeutet. 

 Um nun die Tyjjeu zu be- 

 stimmen bemerken wir: Jede 

 Gerade allgemeiner Lage der 

 Ebene durch p, q, xp -\- yq 

 kann in jede andere Gerade 

 allgemeiner Lage in dieser 

 Ebene übergeführt werden, 

 denn sonst wäre sie entweder 

 einzeln invariant — und das 

 ist nur die Gerade von p nach q — , oder sie geht in nur oo^ Ge- 

 rade über, die ein invariantes Gebilde umhüllen. Da aber in dieser 

 Ebene nur p und q in Ruhe bleiben, sehen wir : Dies Gebilde 

 könnte nur der Punkt p oder q sein. Wir sehen also, dass jede Ge- 

 rade in der Ebene durch p, q, xp -f- yq, die weder p noch q enthält, 

 in jede Gerade in dieser Ebene übergehen kann. Wir dürfen daher 

 als Typus benutzen: 



p + q xp + yq. 



Wir kommen zu den Geraden durch p. Eine solche kann nur in Ge- 

 raden übergehen, die in der Ebene liegen, die sie mit q bestimmt, da 

 diese Ebene invariant ist. Sie kann aber in jede Gerade allgemeiner 

 Lage durch p übergehen, die in der durch sie und q bestimmten in- 

 varianten Ebene liegt, sobald sie nicht für sich invariant, d. h. die 



or/? 



JCjJ*r/g- 



Fig. 48. 



