Untergruppen, gleichberechtigte Untergruppen, invariante Untergruppen. 483 



Gerade nach q oder die uach xp ist. Es ergiebt sich also etwa 



dieser Typus 



p xp-\- cyq (c =[= 0), 



in dem c wesentlich ist, sowie die beiden besonderen Typen 



p q und p xp. 

 Entsprechend ergeben sich noch diese 



2 yü'i-^^P (^4=0) und q yq. 



Endlich betrachten wir die Geraden, welche die beiden Geraden von p 

 nach xp und von q nach yq schneiden. Solcher giebt es ool Liesse 

 sich nicht jede allgemeiner Lage in jede überführen, so würden je oo^ 

 eine invariante Regelfläche bilden. Solche giebt es aber nicht ausser 

 den Ebenen durch p, q, xp und durch p, q, yq. Die Geraden in diesen 

 Ebenen gehen durch q bez. p, sind also schon behandelt. Jede andere 

 Gerade von der jetzt betrachteten Art kann folglich in jede solche 

 verwandelt werden. Es kommt also noch etwa dieser Typus : 



xp yq. 



Hiermit sind alle Typen zweigliedriger Untergruppen erschöpft. 



Bestimmen wir nun noch die dreigliedrigen Untergruppen, die durch 

 Ebenen dargestellt werden. Da eine solche Ebene bei allen in ihr ge- 

 legenen cx)^ infinitesimalen Transformationen in sich übergehen muss 

 und die adjungierte Gruppe nur viergliedrig ist, so kann sie bei der 

 adjungierten Gruppe höchstens oo^ Lagen einnehmen, also ein invarian- 

 tes Gebilde umhüllen. Da wir alle invarianten Punkte, Curven und 

 Flächen kennen, so folgt: Eine solche JEbetie muss entweder eine der 

 invarianten Ebenen sein oder eine Ebene durch eine der invarianten Ge- 

 raden. Die ersteren geben die typische Form: 



p q xp-\-cyq (c4=0), 



in der c wesentlich ist, sowie die besonders ausgezeichneten: 

 p q xp und p q yq. 



Betrachten wir ferner die Ebenen durch p und xp. Jede solche von 

 allgemeiner Lage wird transformiert, sodass sich der Typus ergiebt: 



P xp yq. 



Specieller Lage ist nur die Ebene durch p, q, xp, die für sich. in- 

 variant ist und schon vorher bestimmt ist. Analog kommt nur noch 



der Typus 



q yq xp. 



Somit sind alle Typen von Untergruppen der vorgelegten Gruppe 



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