Untergruppen, gleichberechtigte Untergruppen, invariante Untergruppen. 485 



als eine ebene Mannigfaltigkeit s*" Stufe 3Is-i darstellt, die bei allen 

 den infinitesimalen Transformationen der adjungierten Gruppe invariant 

 bleibt, deren Bildpunkte in ihr liegen. Es könnte nun diese Mannig- 

 faltigkeit Ms-i auch bei solchen Transformationen der adjungierten 

 Gruppe invariant bleiben, deren Bildpunkte nicht in ihr liegen. Wenn 

 sie insbesondere bei allen infinitesimalen Transformationen der ad- 

 jungierten Gruppe invariant bleibt, so gestattet sie alle Transforma- 

 tionen der adjungierten Gruppe. In diesem Falle soll die durch die 

 M,—i dargestellte s-gliedrige Untergruppe eine invariante Untergruppe ^^^^^^^^^e 

 der Gruppe X^f. . Xrf heissen. gruppe. 



Nach Satz 3 lässt sich dafür, dass eine Untergruppe eine in- 

 variante Untergruppe ist, sofort ein analytisches Kriterium aufstellen. 

 Denn nach diesem Satze muss jeder Klammerausdruck zwischen einer 

 beliebigen ihrer infinitesimalen Transformationen und einer beliebigen 

 infinitesimalen Transformation der ganzen Gruppe Xif. . Xrf zum Bild- 

 punkt einen Punkt der l/,_i haben, d. h. jeder solcher Klammeraus- 

 druck muss eine infinitesimale Transformation der in Frage stehenden 

 Untergruppe sein. 



Wählt man z. B. s von einander unabhängige infinitesimale Trans- 

 formationen einer s-gliedrigen Untergruppe einer r-gliedrigen Gruppe 

 X^f. . Xrf gerade als X^f. . Xgf so ist natürlich zunächst jedes 



(X,XO=^Const. X,/ 

 1 



für i-^s, 1c ^ s, weil X^f. . X,f für sich eine Gruppe erzeugen. Diese 

 Gruppe Xj/". . X,f ist nun dann und nur dann eine invariante Unter- 

 gruppe der r-gliedrigen X^f..Xrf, wenn überhaupt jeder Klammer- 

 ausdruck (X.Xi), in dem eine der infinitesimalen Transformationen der 

 Untergruppe X^f. . Xsf angehört, sich als infinitesimale Transforma- 

 tion der Untergruppe darstellt, wenn also die Relationen 



s 



(X,X,)=^Const.X,/ 

 1 



auch schon für ^ ^ s bestehen. 



Insbesondere im Falle s = 1 ergiebt sich eine eingliedrige in- 

 variante Untergruppe. Sie wird dargestellt durch einen bei der ad- 

 jungierten Gruppe invarianten Punkt. Die infinitesimale Transformation 

 UskXkf ist somit invariant, wenn r Gleichungen von der Form 

 (X,-, UskX),) = QiZskXk bestehen, im speciellen ausgezeichnet, wenn 

 alle Qi verschwinden. (Vgl. S. 465.) 



