486 Kapitel 18, § 3. 



Eine zweigliedrige invariante Untergruppe wird durch eine bei 

 der adjungierten Gruppe invariante Gerade dargestellt, u. s. w. 

 Beispiel: Beispiel: Bei der obigen Gruppe 



p q xp yq 



haben wir folgende invariante Untergruppen: Als eingliedrige die 

 durch die beiden invarianten Punkte dargestellten: 



P, q, 



als zweigliedrige die durch die drei invarianten Geraden dargestellten: 



p q, p xp, q yq, 



als dreigliedrige die durch eine der oo^ invarianten Ebenen durch die 

 Punkte p, q gegebene: 



p q xp-jr cyq (c 4= 0), 



in der c wesentlich ist. Die beiden 



p q xp, p q yq 



sind hierbei besonders bemerkenswert. 



Nach unserer Terminologie stellt jede bei der adjungierten Gruppe 

 invariante ebene Mannigfaltigkeit eine invariante Untergruppe .der ge- 

 gebenen Gruppe dar. Insbesondere können wir den ganzen Raum 

 r*«' Stufe Br-i, in dem die adjungierte Gruppe veranschaulicht wurde, 

 als eine bei der adjungierten Gruppe invariante ebene Mannigfaltigkeit 

 auffassen. Wir könnten daher auch sagen, dass die Gruppe X^f..Xrf 

 ihre eigene grösste invariante Untergruppe ist. 



Aus der begrifflichen Auffassung im Räume Rr—i lässt sich noch 



^^/^i^J^^ein bemerkenswerter Satz ableiten: (X,Xi) wird als infinitesimale 



Transformation der Gruppe X^f. . Xrf durch einen Punkt im Räume 



Rr— 1 der adjungierten Gruppe repräsentiert. Es werden also die 



{XiXk) durch höchstens — r(r — 1) Punkte dargestellt derart, dass die 



durch sie bestimmte kleinste ebene Mannigfaltigkeit entweder der 

 ganze Raum i?r— i oder von geringerer Dimensionenzahl ist. Im letz- 

 teren Falle enthält diese Mannigfaltigkeit M sicher auch alle Punkte, 

 welche die Klammerausdrücke 



^iCiXif, ^kSkXicfj 

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überhaupt darstellen. Wir behaupten, dass diese Mannigfaltigkeit M 

 bei der adjungierten Gruppe invariant ist. In der That führt die ad- 

 jungierte Gruppe nach Satz 3 jeden Punkt des Br-i fort in der 



