Untergruppen, gleichberechtigte Untergruppen, invariante Untergruppen. 487 



Richtung nach einem derjenigen Punkte, welche Bildpunkte der 

 Klammerausdrücke sind, also in einer Richtung nach einem Punkte 

 von M hin. Jeder Punkt von M selbst erfährt daher bei der ad- 

 jungierten Gruppe eine Fortschreitungsrichtung, die in M liegt. Dies 

 aber sagt aus, dass M bei der adjungierten Gruppe invariant ist. Sie 

 ist demnach das Bild einer invarianten Untergruppe der gegebenen 

 Gruppe Xif. . Xrf: 



Satz 4 : Erzeugen r von einander unabhängige infinitesimale Trans- 

 formationen X^f.. Xrf eine r-gliedrige Gruppe, so erzeugt auch der In- 

 begriff aller (XiXk) eine Gruppe; sind unter diesen Klammerausdrücken 

 gerade Q (<r) von einander unabhängig, so erzeugen sie eine Q-gliedrige 

 invariante Untergruppe der Gruppe X^f.-Xrf^). 



Unser Satz lässt sich auch analytisch sofort beweisen: Da nach 

 dem Hauptsatze 



r 



(X,X,) EEE^Ciu XJ (i, Je =1,2.. r) 

 1 

 ist, so ist 



r 



((X.-Z,)X,) — ^c,,.(X,,XO, 

 1 



d. h. jede infinitesimale Transformation (X,-X;t) giebt mit einer Xif 

 combiniert stets eine aus den Klammerausdrücken linear ableitbare, 

 was zu beweisen war. 



Beispiel: Bei der mehrfach betrachteten Gruppe p xp q yq Beispiel 

 liefern die Klammerausdrücke nur p und q. In der That ist p q eine 

 invariante Untergruppe. Die Gerade vom Bildpunkte p zum Bild- 

 punkte q stellt alle durch Klammeroperation hervorgehenden infinite- 

 simalen Transformationen dar. Nach Satz 3 folgt daher, dass jeder 

 Punkt des Raumes der adjungierten Gruppe bei Ausführung irgend 

 welcher Transformationen der adjungierten Gruppe stets Fortschrei- 

 tungen erfährt, die nach den Punkten dieser einen Geraden gerichtet 

 sind. Aus dieser Bemerkung folgt ohne weiteres, dass jede Ebene 

 durch p und q für sich bei der adjungierten Gruppe invariant bleibt. 

 Dies haben wir oben, als wir sämtliche Untergruppen der Gruppe 

 p xp q yq bestimmten, auf analytischem Wege gezeigt. 



Wie in diesem Bespiel, so lässt sich überhaupt allgemein be- 

 merken : 



*) Vgl. Theorem 46, § 1 des 21. Kap. der „Diffgln. m. Inf. Trf.". Den Satz 4 

 des Textee stellte Lie im Archiv for Math, og Naturv., Christiania 1883, zum 

 ersten Male ausdrücklich auf. 



