488 Kapitel 18, § 3. 



Die Bildpunkte der Klammerausdrücke {XiXk) bestimmen wie o-e- 

 sagt, eine ebene Mannigfaltigkeit, nach deren Punkten sämtliche 

 Fortschreitungen aller Punkte des Raumes Br-i bei der adjungierten 

 Gruppe gerichtet sind. Wenn also z. B. alle (XiX,,) sich auf nur eine 

 infinitesimale Transformation reducieren, so bleibt im Räume Rr-i 

 der adjungierten Gruppe jede Gerade durch ihren Bildpunkt in Ruhe. 

 Reducieren sich alle (Z,-Za) auf nur zwei von einander unabhängige 

 infinitesimale Transformationen, so bleibt im Räume Br-i bei der ad- 

 jungierten Gruppe jede durch ihre beiden Bildpunkte gelegte ebene 

 Mannigfaltigkeit dritter Stufe (also von zwei Dimensionen) in Ruhe 

 u. s. w. 



Die von allen (Zj-Xj) erzeugte invariante Untergruppe der ge- 

 ae5"ert6 S®^®"^^ Gruppe XJ..X,f nennen wir ihre erste derivierfe Gruppe. 

 Gruppe. So ist bei der Gruppe p xp q yq die erste derivierte Gruppe die 

 Gruppe p q. Bei der Gruppe p xp x^p ist die erste derivierte eben 

 diese Gruppe selbst. Bei der Gruppe p q r in x, y, z hi die erste 

 derivierte Gruppe einfach die identische Transformation, sie ist, sagen 

 wir, nullgliedrig. 



Man kann nun von der ersten derivierten Gruppe wieder die erste 

 leSr^e ^erivicrte aufstellen. Wir nennen sie die zweite derivierte Gruppe der 

 Gruppe, ursprünglichen u. s. w. So lautet bei der Gruppe p q xp xq die erste 

 derivierte p q xq, die zweite q, die dritte ist hier die Identität. Die 

 Gruppe p xp x^p ist ihre eigene erste, zweite, dritte u. s. w. deri- 

 vierte Gruppe. 



Der BegriflP: derivierte Gruppe besitzt eine besondere Wichtigkeit, 

 wie jedenfalls teilweise aus unseren späteren Entwickelungen hervor- 

 gehen wird. Wir haben auch schon soeben darauf aufmerksam gemacht, 

 dass die erste derivierte Gruppe mit Nutzen für die Bestimmung 

 von Scharen von invarianten ebenen Mannigfaltigkeiten bei der ad- 

 jungierten Gruppe verwendet werden kann*). 



Eine letzte Bezeichnung, die wir noch einführen, ist diese: Eine 



Gruppe, die keine invariante Untergruppe — natürlich abgesehen von 



Gnfppt' ^^^ C^ruppe selbst — enthält, heisst einfache Gruppe. Wir können 



die Definition offenbar auch so aussprechen: Eine einfache Gruppe 



*) Mit Hülfe des Begriffes: derivierte Gruppe haben wir in den „Diffgln. m. 

 inf. Trf." m Kap. 21 alle Typen von Zusammensetzungen dreigliedriger Gruppen 

 bestimmt. Vgl. weiter unten Kap. 20. Die Gliederzablen der auccessiven derivierten 

 Gruppen haben besondere Bedeutung in der Theorie der Differentialgleichungen. 



