Untergruppen, gleichberechtigte Untergruppen, invariante Untergruppen. 489 



ist eine solche, bei deren adjungierter Gruppe keine ebene Mannig- 

 faltigkeit invariant bleibt, denn jede invariante Mannigfaltigkeit stellt 

 ja eine invariante Untergruppe der in Rede stehenden Gruppe dar. 



Z. B. die Gruppe p xp x^p ist einfach, da ihre adjungierte 

 keinen Punkt und keine Gerade in Ruhe lässt. 



Den Gegensatz zu den einfachen Gruppen bilden die zusammen-'^^^^^^^^- 

 gesetzten Gruppen. So ist die öfters betrachtete Gruppe p xp q yq «-^"pp«- 

 zusammengesetzt. 



Der Begriff: einfache Gruppe spielt in der Gruppentheorie eine 

 besonders hervorragende Rolle. Es erhellt unmittelbar, dass eine ein- 

 fache Gruppe ihre eigene erste, zweite u. s. w. derivierte Gruppe ist. 

 Das Umgekehrte gilt aber nicht, wie die Gruppe zeigt: 

 p q xq xp — ijq yp, 



die ihre eigene erste, zweite u. s. w. derivierte Gruppe ist und doch 

 die invariante Untergruppe p q besitzt. 



Zum Schluss machen wir noch eine wichtige allgemeine Bemerkung : ^^^^^^^^'^ 

 Wenn zwei r-gliedrige Gruppen X^f..Xrf und Y^f..Yrf gleich- 

 zusammengesetzt sind, d. h. wenn sich (vgl. § 1 des 17. Kap.) r von 

 einander unabhängige infinitesimale Transformationen ^j/". . f);./" bei 

 der zweiten so auswählen lassen, dass in den Formeln für die Klammer- 

 ausdrücke 



r r 



X 1 



jedes diki = Ciks ist, so ist es klar, dass beide Gruppen, sobald man 

 die zweite in der Form %f. . '^rf wählt, dieselbe adjungierte Gruppe 

 besitzen, da diese von den c,a, bez. das allein bestimmt wird. Hieraus 

 erhellt, dass das Problem, alle Untergruppen einer Gruppe zu be- 

 stimmen, ohne Weiteres erledigt ist, sobald man alle Untergruppen 

 einer mit der vorgelegten Gruppe gleichzusammengesetzten Gruppe 

 schon bestimmt hat. In einem der früheren Beispiele haben wir dies 

 schon verwertet. 



