Abteilung Y. 

 Lineare homogene Gruppen. 



In den früheren Abteilungen wurden wir auf verschiedenen Wegen 

 zur Betrachtung solcher Gruppen geführt, deren Transformationen 

 linear und homogen, also allgemein von der Form 



x-^ aaXi + • • + (ilnXn (« = 1, 2 . . m) 

 waren. Einmal geschah dies, als wir in der Ebene die allgemeine 

 projective Gruppe untersuchten, die den Anfangspunkt und die unend- 

 lich ferne Gerade in Ruhe lässt: 



x'= ax -{-hy, y = ex -\- dy, 



in § 4 des 5. Kap, Wir hoben damals hervor, dass diese Gruppe das 



Büschel der Strahlen |- = Const. durch den Anfangspunkt vermöge 



der allgemeinen projectiveu Gruppe der einfachen Mannigfaltigkeit in 

 sich transformiert. Ferner haben wir öfters darauf hingewiesen, dass 

 sich manche die projectiven Gruppen in der Ebene betreffende Pro- 

 bleme in übersichtlicherer, vollständigerer und eleganterer Weise er- 

 ledigen lassen, sobald man drei homogene Punktcoordinaten benutzt, 

 wodurch die betreffende Gruppe in eine lineare homogene übergeht. 

 Endlich erkannten wir, dass die adjungierte Gruppe einer beliebigen 

 gegebenen Gruppe aus linearen homogenen Transformationen besteht. 



Es ist hiernach erklärlich, dass wir den linearen homogenen 

 Gruppen eine besondere Bedeutung zuschreiben und sie in dieser Ab- 

 teilung eingehend behandeln. 



Wir verwerten ausserdem die Theorie der linearen homogenen 

 Gruppen für die so wichtige Theorie der Zusammensetzung der Gruppen 

 und für die Theorie der höheren complexen Zählen. 



