Die allgemeine und die specielle lineare homogene Gfuppe. 491 



Kapitel 19. 

 Lineare homogene Gruppen. 



Zunächst werden wir die allgemeine lineare homogene Gruppe in 

 n Veränderlichen und die in ihr enthaltene specielle lineare homogene 

 Gruppe besprechen. Darauf fassen wir den Fall dreier Veränderlicher 

 ^i> ^2} ^3 besonders ins Auge und werden so zur allgemeinen pro- • 

 jectiven Gruppe des gewöhnlichen Raumes {Xi, x^, x^) geführt, die 

 den Anfangspunkt und die unendlich ferne Ebene in Ruhe lässt. Wenn 

 wir aber andererseits x^, x^, x^ als homogene Punltcoordinaten in der 

 Ebene auffassen, gelangen wir zur allgemeinen projectiven Gruppe der 

 Ebene, aber in homogener Darstellung. 



Diese beiden verschiedenen begrifflichen Deutungen der allge- 

 meinen linearen homogenen Gruppe in drei Veränderlichen benutzen 

 wir, um alsdann alle Untergruppen dieser Gruppe zu bestimmen, wobei 

 wir uns teilweise auf die frühere Bestimmung aller projectiven Gruppen 

 der Ebene stützen werden. 



Die Verallgemeinerungen auf n Veränderliche und weitere An- 

 wendungen auf Untergruppen machen wir zum Schluss. 



§ 1. Die allgemeine und die specielle lineare homogene Gruppe. 



Wir betrachten die Gesamtheit aller linearen homogenen Trans- 

 formationen in n Veränderlichen x^ . . Xn'- 



(1) Xi'= aaX^ + ai2X2 -+-•• + «m^n ('^* = 1, 2 . .n). homoJ'T'r'f 



in n Ver- 



Solche n Gleichungen stellen nur dann eine Transformation dar, \venn^*'^^'"*=^'" 

 sie nach x^ . . Xn auflösbar sind, wenn also ihre Determinante 



Zla = I =f= ü 



I ^, Ä;= 1, 2..?^ I 



ist. Diese Voraussetzung machen wir daher stets. 



Es ist klar, dass die Aufeinanderfolge zweier linearer homogener 

 Transformationen, also etwa von (1) und: 



(2) x;'= hxx;-\- ij2x;-{ — i- ijnx: O" = i, 2 . . n) 



wieder eine lineare homogene Transformation 



(3) xj'= CjiXi -f Cjzx.^ -\ h cjnXn (i = 1, 2 . . w) 



liefert. Alle linearen homogenen Transformationen bilden somit eine 



