492 Kapitel 10, § 1. 



höm^en^'^^iiPP^' ^^'^ allgemeine lineare homogene Gruppe in n Veränderlichen. 



Gruppe, g-g enthält zu jeder ihrer Transformationen die inverse, denn die Auf- 

 lösung von (1) nach x^ . . Xn ergiebt x^ . . Xn als lineare homogene 

 Functionen von x^' . . Xn'. 



lu (3) haben die Coefficienten offenbar allgemein die Werte; 



n 



1 

 Es ist mithin die Determinante zic von (3): 



i Cjk \ = \aik\-\'bji\ 

 oder kürzer: 



(4) ^c = ^a^ö, 



also gleich dem Product der Determinanten von (1) und (2). 



Endlich bemerken wir noch^ dass zwei Transformationen von der 

 Form (1) dann und nur dann übereinstimmen, wenn ihre rechten 

 Seiten für alle Werte von x^ . . Xn gleich sind, wenn also die Coeffi- 

 cienten ttit, der einen gleich den entsprechenden der andern sind. Da 

 es in (1) im Ganzen n^ Coefficienten giebt, so sehen wir, dass in n 

 Veränderlichen oo"^ verschiedene lineare homogene Transformationen 

 existieren. 



Wir fassen alles zusammen in den 



Satz 1 : Alle oo"' linearen homogenen Transformationen in n Ver- 

 änderlichen x^ . . Xn.' 



n 



1 



ttikXk {i = If 2 . .n) 



bilden eine continuierliche Gruppe mit paarweis inversen Transformationen. 

 Nennt man die Determinante der aik die Determinante der vorstehenden 

 Transformation, so ist die Determinante /Ic der linearen homogenen 

 Transformation, die der Aufeinanderfolge zweier linearer homogener 

 Transformationen mit den hez. Determinanten z/«, z/^ äquivalent ist, 

 gleich dem Product dieser beiden: 



Je = Ja^b 



Betrachten wir nun insbesondere alle linearen homogenen Trans- 

 formationen, deren Determinante den Wert 1 hat. Wir nennen sie 

 a^homog.^^^^^^^^^ Z^eare homogene Transformationen. Die Aufeinanderfolge zweier 

 mauor ^^^^^®^ ^^^ ^^<^^ Formel (4) ebenfalls die Determinante ^c=l, da 

 -^a = ^6 = 1 ist. Mithin bilden alle speciellen linearen homogenen 



