Die allgemeine und die specielle lineare homogene Gruppe. 493 



TraDsformatioueD für sich eine Gruppe, die specielle lineare Jwmogene ^l""'^^]^ 

 Gruppe. Sie enthält paarweis inverse Transformationen, denn führen Gruppe. 

 wir nach einer linearen homogenen Transformation mit der Deter- 

 minante 1 ihre inverse aus, die etwa die Determinante D besitze, so 

 ergiebt sich die identische Transformation Xi'= Xi, und letztere hat 

 offenbar die Determinante 1. Nach (4) ist demnach 



1 = 1.D, 



d. h. D= 1. Also hat auch die zu einer speciellen linearen homo- 

 genen Transformation inverse die Determinante 1. Eine lineare homo- 

 gene Transformation (1) ist speciell, wenn ihre v? Coefficienten a^- der 

 einzigen Bedingung z/a = 1 unterworfen werden. Mithin sind n^ — 1 

 Coefficienten willkürlich und es giebt unter den cjo»* verschiedeneu 

 linearen homogenen Transformationen gerade oo'*'~^ specielle. 



Satz 2: Alle 00''" -^ linearen homogenen Transformationen mit der 

 Determinante 1 in n Veränderlichen bilden eine continuierliche Gruppe 

 mit paarweis inversen Transformationen. 



Die allgemeine lineare homogene Gruppe ist w^-gliedrig, die spe- 

 cielle {n^ — l)-gliedrig. Die eine besitzt also n^, die andere n^ — 1 

 von einander unabhängige infinitesimale Transformationen. Diese 

 wollen wir jetzt bestimmen. 



Es ist sicher — da beide Gruppen paarweis inverse Transforma- 

 tionen enthalten — , dass es Werte der Coefficienten a,i. geben muss, • 

 für die sich die Gleichungen (1) auf die der identischen Transforma- 

 tion x{ = Xi reducieren. Verstehen wir allgemein unter f,jt die Zahl 

 1 oder 0, je nachdem i = 'k oder i-^Tc ist, so sind die fraglichen 



Werte diese: 



atk = Bn (i, fc = 1, 2 . . w). 



Mithin liefert die Annahme 



(5) aa = £ik + (iikdt (i, 1c=l, 2 .. n) 



eine infinitesimale Transformation der allgemeinen linearen homogenen bxt un^ 

 Gruppe, die insbesondere dann uud nur dann der speciellen angehört, 

 wenn die Determinante 



I Sik + KikÖt I 



gleich 1 ist, wenn also — da die höheren Potenzen von dt nicht in 

 Betracht kommen und in der Determinante nur die Glieder der Haupt- 

 diagonale endliche Werte, nämlich 1 -\- audt {i = 1, 2 . . n), besitzen 

 — die Gleichung erfüllt ist: 



(6) «n + «22 + «33 H h ««» = ^- 



