494 ' Kapitel 19, § 1. 



Substituieren wir die Werte (5) in (1), so kommt: 



n 



xl= Xi +^kaiiXk -dt {i'=l,2..n) 

 oder 



n 



öXi =z^cCikXjc • dt, 



1 



sodass die gesuchte infinitesimale Transformation das Symbol hat: 



n 



1 

 lin^hom. Hierin ist ^ mit pi bezeichnet. Insbesondere ist Xf eine infmitesi- 



Transform. * 



male specielle lineare homogene Transformation, weun darin cc^^ . . a„n die 

 Bedingung (6) erfüllen. 



Lassen wir dagegen die a.-k ganz willkürlich, so stellt Xf irgend 

 eine infinitesimale Transformation der allgemeinen linearen homogenen 

 Gruppe dar. Wählen wir alle aa gleich Null mit Ausnahme eines, 

 so ergiebt sich x^Pi- Solcher XkPi giebt es gerade n^, und sie sind 

 sämtlich von einander unabhängig. 



Satz 3 : Die allgemeine lineare homogene Gruppe in x^ . . x^ wird 

 erzeugt von den v? von einander unabhängigen infinitesimalen Transfor- 

 mationen 



XkPi (i, h= 1, 2 . . n). 



Wenn wir alle an, gleich Null setzen mit Ausnahme eines a,i, 

 in dem i =^Jc ist, so erfüllen die Coefficienten die Bedingung (G), und 

 es ergiebt sich dann eine infinitesimale Transformation der speciellen 

 linearen homogenen Gruppe 



Solcher giebt es im ganzen n^ — n. Wenn wir andererseits alle Uik 

 gleich Null setzen mit Ausnahme von «,-,• -\- cc„n = 1, so kommt als 

 infinitesimale Transformation der speciellen linearen homogenen Gruppe 



XiPi XnPri' 



Solcher giebt es n — 1. Wir haben daher insgesamt vi^ — n-\-n — 1, 

 also n^ — 1 Symbole 



die offenbar von einander unabhängig sind. Da die specielle lineare 

 homogene Gruppe auch gerade (n^ — l)-gliedrig ist, so folgt: 



Satz 4 : Die specielle lineare homogene Gruppe in x^ . . Xn wird er- 



