Die allgemeine und die specielle lineare homogene Gruppe. 495 



zeugt von den v? — 1 von einander unabhängigen infinitesimalen Trans- 

 formationen : 



cCiPi {i 4= h), XiPi — x„p„ 



(i, fe = 1, 2 . . n). 



Wir wollen der allgemeinen und der speciellen linearen homo-^®^*^^8^^'J^'' 

 genen Gruppe eine begrififliche Deutung unterlegen, indem wir x^-.Xn "3?^^"" 

 als gewöhnliche Cartesische Punktcoordinaten in einem Räume von 

 n Dimensionen deuten. Alsdann stellt die lineare homogene Trans- 

 formation (1) eine solche Transformation dieses Raumes dar, die jede 

 ebene Mannigfaltigkeit wieder in eine ebene Mannigfaltigkeit über- 

 führt. Denn ist etwa: 



(8) Xi = äiiXi-\- • • + äinX,' {i=l, 2 ..n) 



die Auflösung von (1) nach Xi..x„, so sieht man, dass die ebene 

 (w — l)fach ausgedehnte Mannigfaltigkeit, die wir kurz Ebene nennen; 



(9) -^1^1 + • • + ^nXn -f Aß = 



vermöge der Transformation (1) wieder in eine Ebene 



oder 



(10) Va:/+ • . + x:xn'+ V= 

 übergeht, bei der 



n 



(11) A/= 2 Xiän, Ao'= Ao (k= 1, 2 . .n) 



1 



ist. Wenn wir zwei Ebenen 



^1 -^i l ' ' r ^n Xn -jr "-0 '"^ , 

 ^1^1 H h i^nXn + ^0=0 



dann und nur dann parallel nennen, wenn k^..ln. in denselben Ver- 

 hältnissen zu einander stehen wie [i^ . . ft„, indem wir so eine That- 

 sache für den Fall w==2, 3 auf beliebiges n als Definition über- 

 tragen, so lehren die Werte (11) unmittelbar, dass hei einer linearen Invarianz 



° ' . ^ ^ ' des Paral- 



Jwmogenen Transformation (1) parallele Ebenen in parallele Ebenen über- leusmus. 

 gehen, denn A/. . A„' sind in (11) von A^ frei. Wir bedienen uns der 

 aus dem gewöhnlichen Räume geläufigen Redeweise, dass das Unend- 

 lichfeme eine Ebene ist. Eine beliebige Ebene hat mit ihr eine ebene 

 (n — 2)fach ausgedehnte Mannigfaltigkeit gemein und parallele Ebenen 

 sind dann dadurch charakterisiert, dass sie dieselbe ebene (n — 2) fach 

 ausgedehnte Mannigfaltigkeit im Unendlichfernen besitzen. Daher 



