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Kapitel 19, § 1. 



können wir auch sagen: Die lineare homogene Transformation (1) 

 führt jede in der unendlich fernen Ebene gelegene (n — 2) fach aus- 

 .lerune'iTdi. gedehnte ebene Mannigfaltigkeit in eine ebensolche über. Die unend- 

 femen i^^^^ fg^^g Ebene wird daher in sich transformiert. 



Endlich sieht man sofort, dass die Transformation (1) den An- 

 fangspunkt in Ruhe lässt. Also sagen wir: 



Satz 5 : Eine lineare homogene Transformation in x^..Xn führt in 



einem nfach ausgedehnten Baume mit den gewöhnlichen Punktcoordinaten 



x^..Xn jede Ebene in eine Ebene über und lässt den Anfangspunkt sowie 



die unendlich ferne Ebene invariant. 



^Äuion^ ^a» kann zeigen, dass die linearen homogenen Transformationen die 



irinsfonn'^^^^^'"^^'''*^^ ^^"^' ^'^ ^'^^ *^"^' ^^ss sie also durch diese Eigenschaften 

 definiert smd. Wir gehen jedoch hierauf nicht weiter ein. 



Man kann den analytischen Ausdruck für den Inhalt des von 4 Punkten 

 {xi, Vi, Zi^ i==l, 2, 3, 4) des gewöhnlichen Raumes bestimmter Te- 

 traeders 



auf n Veränderliche verallgemeinern und dadurch zur Definition des Raum- 

 inhaltes machen: w + 1 Punkte (a;, x^ . .xj, j = i, 2 . . w + 1) be- 

 stimmten ein {n -j- l) Flach mit dem Rauminhalt 



J" = 



n\ 



n-f 1 rf n+1 . 



a;„''+^ 1 



Rlum-' alsdann kann man leicht einsehen, analog wie es in § 2 des 4. Kap. ge- 

 inhaite. schah, dass w + 1 Punkte mit dem Rauminhalt J vermöge der linearen 



homogenen Transformation (l) mit der Determinante Aa m n -\- 1 Punkte 



mit dem Rauminhalt 



übergehen. Insbesondere folgt dann für A^ = 1, dass die speciellen linearen 

 homogenen Transformationen diejenigen sind, welche alle Rauminhalte un- 

 geändert lassen. 



Insbesondere wollen wir von nun an m = 3 setzen, also die all- 

 verändet gemeine und die specielle lineare homogene Gruppe in drei Veränder- 

 lichen, liehen betrachten. Die erstere ist neun-, die letztere achtgliedrig. 

 Deutung inx^'^ begriffliche Deutung findet jetzt im gewöhnlichen Räume mit den 

 few.Kaume. Punktcoordinaten x„ x^, x, statt. In ihm bleibt bei jeder linearen 



